Use a Regra de L’Hôspital para determinar o limite:
\begin{gathered} \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos (x)}{1-\operatorname{sen}(x)} \\\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}-2 x}{x-\operatorname{sen}(x)} \end{gathered}

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos calcular estes dois limites usando a Regra de L’Hôpital:
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{1-\sin(x)}
e
\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{-x}-2x}{\,x-\sin(x)\,}.
Ambos são formas indeterminadas do tipo 0/0, então vamos derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Para
\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{1-\sin(x)},
substituindo x=\frac{\pi}{2} temos \cos(\tfrac{\pi}{2})=0 e 1-\sin(\tfrac{\pi}{2})=0, ou seja forma 0/0. Aplicando L’Hôpital uma vez:
\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x), \quad \frac{d}{dx}[1-\sin(x)] = -\cos(x),
então
\frac{\cos(x)}{1-\sin(x)} \;\xrightarrow{\text{LH}}\; \frac{-\sin(x)}{-\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x).

Passo 3

Basta agora observar que
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan(x) = +\infty,
pois \tan(x) cresce sem limite quando x se aproxima de \frac{\pi}{2} pela esquerda. Logo o primeiro limite diverge para +\infty.

Passo 4

Para
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{-x}-2x}{\,x-\sin(x)\,},
substituindo x=0 obtemos 0/0. Definindo
f(x)=e^{x}-e^{-x}-2x, \quad g(x)=x-\sin(x),
aplicamos L’Hôpital sucessivas vezes até eliminar a indeterminação:
  1. f'(x)=e^{x}+e^{-x}-2,\quad g'(x)=1-\cos(x).
    Em x=0 fica 0/0.
  2. f''(x)=e^{x}-e^{-x},\quad g''(x)=\sin(x).
    Em x=0 continua 0/0.
  3. f'''(x)=e^{x}+e^{-x},\quad g'''(x)=\cos(x).
    Em x=0 temos f'''(0)=2 e g'''(0)=1.
Portanto, pelo teorema de L’Hôpital estendido,
\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{-x}-2x}{\,x-\sin(x)\,} = \frac{f'''(0)}{g'''(0)} = \frac{2}{1} = 2.

Resposta

\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{1-\sin(x)} = +\infty
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{-x}-2x}{\,x-\sin(x)\,} = 2

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