(a) Determine o gradiente de f.
(b) Calcule o gradiente no ponto P.
(c) Determine a taxa de variação de f \mathrm{em} P na direção do vetor \mathbf{u}.
f(x, y)=x^{2} e^{y}, P(3,0), \mathbf{u}=\frac{1}{5}(3 \mathbf{i}-4 \mathbf{j})

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}e^{y},
o ponto P=(3,0) e o vetor de direção unitário
\mathbf{u}=\frac{1}{5}(3\mathbf{i}-4\mathbf{j})\,.
Vamos calcular (a) o gradiente \nabla f, (b) seu valor em P e (c) a derivada direcional em P na direção de \mathbf{u}.

Passo 2

Para obter o gradiente, lembramos que
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).
Como
\frac{\partial f}{\partial x}=2x e^{y},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}e^{y},
temos
\nabla f(x,y)=\langle 2x e^{y},\,x^{2}e^{y}\rangle.

Passo 3

Substituindo x=3 e y=0 em \nabla f(x,y), obtemos
\nabla f(3,0)=\langle 2\cdot3\cdot e^{0},\;3^{2}\cdot e^{0}\rangle =\langle 6,\,9\rangle.

Passo 4

A taxa de variação de f em P na direção de \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(3,0)\cdot\mathbf{u} =\langle 6,9\rangle\cdot\Bigl\langle \tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\Bigr\rangle =6\cdot\tfrac{3}{5}+9\cdot\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr) =-\tfrac{18}{5}.

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=\langle 2x e^{y},\,x^{2}e^{y}\rangle.
(b) \nabla f(3,0)=\langle 6,9\rangle.
(c) D_{\mathbf{u}}f(P)=-\tfrac{18}{5}.

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