Determine a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{arccos} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \operatorname{arccos}\bigl(e^{x}\bigr).
O conteúdo teórico que vamos usar é a regra da cadeia e a fórmula da derivada da função arco cosseno, além da derivada da função exponencial.

Passo 2

Lembrando que, para u = u(x), vale
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr] = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^{2}}}.
Aqui temos u(x)=e^{x}, cuja derivada é
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[e^{x}\bigr]=e^{x}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em
f(x)=\operatorname{arccos}\bigl(u(x)\bigr) \quad\text{com}\quad u(x)=e^{x},
obtemos
f'(x) = -\frac{u'(x)}{\sqrt{1 - \bigl(u(x)\bigr)^{2}}} = -\frac{e^{x}}{\sqrt{1 - \bigl(e^{x}\bigr)^{2}}}.

Passo 4

Podemos escrever de forma mais compacta
f'(x)=-\frac{e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2x}}}.
Note que a função está definida para e^{x}\in(0,1], isto é, x\le0, e nesse intervalo a raiz está bem definida.

Resposta

f'(x)=-\frac{e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2x}}}.

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