Calcular \dfrac{dv}{dw} e \dfrac{dt}{dw} explicitamente.
Primeiro t(w)=\operatorname{arctg}(w) (ou \arctan w). A derivada é a clássica:
\frac{dt}{dw}=\frac{1}{1+w^{2}}.
Explicação: \dfrac{d}{dw}\arctan w = 1/(1+w^{2}).
Agora v(w)=\operatorname{sec}\!\big(\tfrac{1}{w}\big). Use a regra da cadeia e a derivada \dfrac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\tan u. Então
Substituir tudo numa expressão final explícita. Lembrando \varphi=v+t+\log v - e^{2t}, v=\operatorname{sec}\!\left(\frac{1}{w}\right) e t=\operatorname{arctg}(w), obtemos
\frac{du}{dx} = -\sin\!\big(v+t+\log v - e^{2t}\big)\left(1+\frac{1}{v} - \frac{w^{2}}{1+w^{2}}\frac{\cos^{2}\!\left(\frac{1}{w}\right)}{\sin\!\left(\frac{1}{w}\right)}\big(1-2e^{2t}\big)\right).
Podemos também substituir \dfrac{1}{v}=\cos\!\left(\frac{1}{w}\right) e e^{2t}=e^{2\operatorname{arctg}(w)} para escrever tudo em termos de w. Fazendo isso: