Determine a derivada direccional de f no ponto dado e na direção e sentido indicado pelo ângulo \alpha e n a direção de \vec{v} em p.
f(x, y)=3 x-4 x y+5 y, P(1,2), \vec{v}=\frac{1}{2}(\vec{\imath}+\sqrt{3} \vec{\jmath})

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:\n
  • Função: f(x,y)=3x-4xy+5y.\n
  • Ponto onde queremos a derivada direcional: P(1,2).\n
  • Vetor que indica direção e sentido: \vec{v}=\dfrac{1}{2}(\vec{\imath}+\sqrt{3}\,\vec{\jmath}). Explicitamente, \vec{v}=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).\n
  • O pedido: calcular a derivada direccional de f no ponto P na direção e sentido indicados por \vec{v}. Neste problema queremos a taxa de variação de f em P ao mover-se na direção de \vec{v}.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicados devagar):\n
  • Derivada direccional: mede a variação de f em P quando nos movemos numa direção unitária \mathbf{u}. A definição prática usada em cálculo de várias variáveis é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e `` \cdot’’ é o produto escalar.\n
  • Gradiente: \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right). Cada componente é uma derivada parcial: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando só x muda (mantendo y fixo), e \dfrac{\partial f}{\partial y} é análoga para y.\n
  • Produto escalar (dot product) entre \mathbf{a}=(a_1,a_2) e \mathbf{b}=(b_1,b_2) é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2.
  • Importante: a fórmula da derivada direccional exige que a direção seja dada por um vetor unitário \mathbf{u} (norma 1). Se o vetor dado \vec{v} não for unitário, normalizamos \mathbf{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}. Se já for unitário, usamos \mathbf{u}=\vec{v}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (passo a passo):\n
A função é f(x,y)=3x-4xy+5y. Derivando termo a termo:\n
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: o termo 3x 3, o termo -4xy visto como -4y vezes x -4y, e 5y não depende de x então dá 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=3-4y.\n
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: o termo 3x não depende de y 0, o termo -4xy visto como -4x vezes y -4x, e 5y 5. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=-4x+5.

Passo 4

Avaliar o gradiente em P(1,2):\n
Substituímos x=1 e y=2 nas parciais encontradas:\n
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(1,2)}=3-4\cdot 2=3-8=-5.\n
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(1,2)}=-4\cdot 1+5=-4+5=1.\n
Portanto
\nabla f(1,2)=(-5,\,1).

Passo 5

Tratar o vetor de direção \vec{v}:\n
O vetor dado é \vec{v}=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Antes de usar na fórmula, verificamos se é unitário calculando sua norma:\n
\|\vec{v}\|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{1}=1.\n
Como \|\vec{v}\|=1, \vec{v} já é um vetor unitário. Assim, podemos tomar \mathbf{u}=\vec{v}.

Passo 6

Calcular a derivada direccional pelo produto escalar:\n
Usamos
D_{\vec{v}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot \vec{v}.\n
Substituindo \nabla f(1,2)=(-5,1) e \vec{v}=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right), fazemos o produto escalar passo a passo:\n
(-5,1)\cdot\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=(-5)\cdot\dfrac{1}{2}+1\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\n
Calculando:
(-5)\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{2},\qquad 1\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\n
Somando:
D_{\vec{v}}f(1,2)=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{-5+\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Interpretação rápida e exemplo para fixar:\n
  • O valor \dfrac{-5+\sqrt{3}}{2} é a taxa de variação de f em P por unidade de comprimento quando nos movemos na direção e sentido de \vec{v}. Se esse número é negativo, f diminui; se positivo, aumenta. Aqui o valor pode ser negativo ou positivo dependendo de \sqrt{3}\approx 1,732; calculando numericamente, -5+\sqrt{3}\approx -3,268 e dividido por 2 dá aproximadamente -1,634, ou seja, uma taxa de diminuição.\n
  • Exemplo curto para intuição: a derivada direccional na direção de \vec{\imath}=(1,0) em P seria \nabla f(1,2)\cdot(1,0)=-5 — isto coincide com a derivada parcial em x. Na direção de \vec{\jmath}=(0,1) seria 1, a derivada parcial em y.

Resposta

\dfrac{-5+\sqrt{3}}{2}

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