Dada as funções abaixo, encontre os zeros das funções utilizando o método de Newton -Raphson
Passo 1
O enunciado pede: “encontre os zeros da função utilizando o método de Newton–Raphson”. A função dada é
Informações relevantes fornecidas: o objetivo é encontrar valores de
tais que
. Não foi dado palpite inicial, então precisaremos escolher um chute inicial razoável para aplicar o método de Newton–Raphson.
Passo 2
Apresentando o método (explicação didática): o método de Newton–Raphson parte da ideia de aproximar a função por sua reta tangente em um ponto
e usar a interseção dessa tangente com o eixo
como nova aproximação
. A fórmula de iteração é
Aqui
é a derivada de
; interpretar
como a inclinação da reta tangente em
. A razão pela qual isso converge é que, perto de uma raiz simples, a reta tangente dá uma boa aproximação linear; cada iteração costuma melhorar bastante a aproximação (convergência quadrática quando estamos perto).
Passo 3
Calculamos a derivada da função (passo obrigatório para aplicar o método):
Explicando: derivada de
é
, derivada de
é
e derivada de constante é
.
Passo 4
Escolha do palpite inicial
: vale observar sinais de
em pontos inteiros para localizar uma raiz real.
Como
e
, existe pelo menos uma raiz real em
. Um palpite natural e simples é
. Esse é um palpite fácil de calcular à mão e já está bem perto da raiz.
Passo 5
Primeira iteração (muito detalhada, para você poder reproduzir na prova): com
,
Aplicando a fórmula de Newton:
Comentário prático: fiz a divisão
escrevendo-a como fração e calculando a divisão longa; em prova, basta manter 4–6 casas decimais.
Passo 6
Segunda iteração (mostrando os cálculos intermediários com clareza):
primeiro calculamos potências de :
primeiro calculamos potências de
Agora
e
:
Aplicando Newton:
Observação: já vemos que a correção ficou na casa
, ou seja, houve um salto grande na precisão.
Passo 7
Terceira iteração (verificando que já estamos bem próximos da raiz): usando
, se calcularmos
obteremos um número muito pequeno (próximo de zero), por exemplo
(apenas para ilustrar que a função praticamente zera). Isso indica convergência; a diferença entre
e
é
e se repetirmos mais uma vez essa diferença cairá para algo da ordem de
ou menor. Critério prático de parada na prova: pare quando
(ou
se quiser maior precisão). Aqui
já atende a tolerâncias típicas de prova.
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: temos encontrado a raiz real da função. A função cúbica tem três raízes (contando multiplicidades) no conjunto complexo; pelo comportamento do sinal entre
e
e pelo fato de termos encontrado uma raiz real simples, o que pedem com Newton–Raphson normalmente é essa raiz real. Você pode checar substituindo
em
e ver que o resultado é praticamente zero.