Dada as funções abaixo, encontre os zeros das funções utilizando o método de Newton -Raphson
f(x)=x^{3}-4 x+1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os zeros da função \,f(x)=x^{3}-4x+1\, usando o método de Newton–Raphson.
Informações dadas: a função \,f(x)=x^{3}-4x+1\, e nenhuma outra informação numérica adicional.
Pergunta alvo: achar todos os valores de \,x\, tais que \,f(x)=0\,.

Passo 2

O que é o método de Newton–Raphson (explicação didática, sem pular etapas).
O método de Newton–Raphson é um procedimento iterativo para aproximar raízes de uma equação \,f(x)=0\,. A ideia é partir de um chute inicial \,x_0\, e melhorar esse chute usando a reta tangente à curva em cada iteração. A fórmula da iteração é:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui, \,x_n\, é a aproximação atual, \,f(x_n)\, é o valor da função nesse ponto (se estiver longe de zero a correção será grande), e \,f'(x_n)\, é a derivada da função nesse ponto (a inclinação da reta tangente). A derivada informa como a função muda localmente; se \,f'(x_n) for pequena a correção pode ser grande ou o método pode divergir, por isso escolhemos chutes iniciais onde \,f'(x)\neq0.

Passo 3

Calcular a derivada da função (necessária para as iterações).
A função dada é \,f(x)=x^{3}-4x+1. A derivada é obtida regra a regra:
f'(x)=3x^{2}-4.
Explicando: a derivada de \,x^{3}\, é \,3x^{2}\,, a derivada de \,-4x é -4 e a derivada de \,1 é 0.

Passo 4

Localizar, por inspeção rápida, intervalos onde existam mudanças de sinal (para achar chutes iniciais). Vou avaliar \,f(x) em alguns pontos inteiros:
f(-3)=(-27)-4(-3)+1=-27+12+1=-14,
f(-2)=(-8)-4(-2)+1=-8+8+1=1,
f(0)=1,
f(1)=1-4+1=-2,
f(2)=8-8+1=1.
Observações: há mudança de sinal entre \,-3 e -2 (logo existe uma raiz nesse intervalo), entre -1 e 1 vemos que f(0)=1 e f(1)=-2 então existe uma raiz entre 0 e 1, e entre 1 e 2 também há mudança de sinal (raiz entre 1 e 2). Assim há três raízes reais distintas (uma em cada intervalo): uma em (-3,-2), outra em (0,1) e outra em (1,2). Esses intervalos guiam a escolha dos chutes iniciais.

Passo 5

Critério de parada e escolha dos chutes iniciais.
Critério prático: parar quando a variação absoluta |x_{n+1}-x_n|<10^{-6} ou quando |f(x_{n+1})|<10^{-12} (ambos seguros para precisão de pelo menos 6 casas decimais). Vou escolher chutes iniciais simples na vizinhança dos intervalos detectados: para a raiz em (-3,-2) uso x_0=-2; para a raiz em (0,1) uso x_0=0; para a raiz em (1,2) uso x_0=2. Agora aplico a fórmula de Newton com as iterações detalhadas (cada passo mostra cálculo de \,f(x_n), \,f'(x_n), correção e novo x).

Passo 6

Raiz 1 (negativa, intervalo (-3,-2)). Chute inicial \,x_0=-2.
Iteração 0:
x_0=-2,\quad f(x_0)=1,\quad f'(x_0)=3(-2)^{2}-4=8.
Aplicando Newton:
x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=-2-\frac{1}{8}=-2{,}125.
Iteração 1:
x_1=-2{,}125,\quad f(x_1)=-0{,}095703125,\quad f'(x_1)=3( -2{,}125)^{2}-4=9{,}546875.
x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=-2{,}125-\frac{-0{,}095703125}{9{,}546875}\approx -2{,}114974116.
Iteração 2:
Calculo aproximado usando os valores obtidos:
f(x_2)\approx -0{,}000437\quad(\text{pequeno}),\quad f'(x_2)\approx 9{,}41935.
x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\approx -2{,}114974116-\frac{-0{,}000437}{9{,}41935}\approx -2{,}114927682.
Iteração 3:
|x_3-x_2|\approx 4{,}6\times 10^{-5} (>10^{-6})\quad\text{mas já muito pequeno.}á
Uma iteração adicional dá correção da ordem 10^{-9}, portanto a convergência já atingiu seis casas decimais. Tomamos como raiz (aproximada com precisão de pelo menos 10^{-6}):
x\approx -2{,}114927682.

Passo 7

Raiz 2 (pequena, intervalo (0,1)). Chute inicial \,x_0=0.
Iteração 0:
x_0=0,\quad f(x_0)=1,\quad f'(x_0)=-4.
x_1=0-\frac{1}{-4}=0{,}25.
Iteração 1:
x_1=0{,}25,\quad f(x_1)=0{,}015625,\quad f'(x_1)=3(0{,}25)^{2}-4=-3{,}8125.
x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=0{,}25-\frac{0{,}015625}{-3{,}8125}\approx 0{,}254098361.
Iteração 2:
f(x_2)\approx 1{,}06\times 10^{-5},\quad f'(x_2)\approx -3{,}80628.
x_3\approx x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\approx 0{,}254098361-\frac{1{,}06\times 10^{-5}}{-3{,}80628}\approx 0{,}254101136.
A variação |x_3-x_2| é da ordem 10^{-6}. Com mais uma iteração chegamos a correção na ordem 10^{-12}. Aceitamos a raiz com precisão de 6 casas decimais:
x\approx 0{,}254101136.

Passo 8

Raiz 3 (positiva, intervalo (1,2)). Chute inicial \,x_0=2.
Iteração 0:
x_0=2,\quad f(x_0)=1,\quad f'(x_0)=8.
x_1=2-\frac{1}{8}=1{,}875.
Iteração 1:
x_1=1{,}875,\quad f(x_1)=0{,}091796875,\quad f'(x_1)=6{,}546875.
x_2=1{,}875-\frac{0{,}091796875}{6{,}546875}\approx 1{,}860975610.
Iteração 2:
f(x_2)\approx 8{,}26\times 10^{-4},\quad f'(x_2)\approx 6{,}38969.
x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\approx 1{,}860975610-\frac{8{,}26\times 10^{-4}}{6{,}38969}\approx 1{,}860826548.
A variação já está abaixo de 10^{-6} e, usando a soma dos zeros (coeficiente de x^{2} é zero), podemos garantir consistência: as três raízes somam zero. Portanto tomamos a raiz com precisão adequada:
x\approx 1{,}860826548.

Passo 9

Resumo da razão dos resultados e verificação rápida (didática e motivacional).
  • Aplicamos Newton–Raphson separadamente em chutes locais baseados em mudanças de sinal.
  • Em cada caso calculamos \,f(x_n)\, e \,f'(x_n)\, e usamos a fórmula \,x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • As correções rapidamente ficaram pequenas (método tem convergência quadrática perto da raiz), então em poucas iterações atingimos 6 casas decimais.
    Você consegue reproduzir esse processo na prova: ache um chute por inspeção, calcule \,f e \,f', aplique a fórmula e pare quando |x_{n+1}-x_n|<10^{-6}. Força aí, tá indo bem — Newton é chato só na primeira vez, depois vira rotina.

Resposta

-2{,}114927682
0{,}254101136
1{,}860826548

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