Dada as funções abaixo, encontre os zeros das funções utilizando o método de Newton -Raphson
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os zeros da função
usando o método de Newton–Raphson.
Informações dadas: a função e nenhuma outra informação numérica adicional.
Pergunta alvo: achar todos os valores de tais que
.
Informações dadas: a função
Pergunta alvo: achar todos os valores de
Passo 2
O que é o método de Newton–Raphson (explicação didática, sem pular etapas).
O método de Newton–Raphson é um procedimento iterativo para aproximar raízes de uma equação . A ideia é partir de um chute inicial
e melhorar esse chute usando a reta tangente à curva em cada iteração. A fórmula da iteração é:
O método de Newton–Raphson é um procedimento iterativo para aproximar raízes de uma equação
Aqui,
é a aproximação atual,
é o valor da função nesse ponto (se estiver longe de zero a correção será grande), e
é a derivada da função nesse ponto (a inclinação da reta tangente). A derivada informa como a função muda localmente; se
for pequena a correção pode ser grande ou o método pode divergir, por isso escolhemos chutes iniciais onde
.
Passo 3
Calcular a derivada da função (necessária para as iterações).
A função dada é . A derivada é obtida regra a regra:
A função dada é
Explicando: a derivada de
é
, a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 4
Localizar, por inspeção rápida, intervalos onde existam mudanças de sinal (para achar chutes iniciais). Vou avaliar
em alguns pontos inteiros:
Observações: há mudança de sinal entre
e
(logo existe uma raiz nesse intervalo), entre
e
vemos que
e
então existe uma raiz entre
e
, e entre
e
também há mudança de sinal (raiz entre
e
). Assim há três raízes reais distintas (uma em cada intervalo): uma em
, outra em
e outra em
. Esses intervalos guiam a escolha dos chutes iniciais.
Passo 5
Critério de parada e escolha dos chutes iniciais.
Critério prático: parar quando a variação absoluta ou quando
(ambos seguros para precisão de pelo menos 6 casas decimais). Vou escolher chutes iniciais simples na vizinhança dos intervalos detectados: para a raiz em
uso
; para a raiz em
uso
; para a raiz em
uso
. Agora aplico a fórmula de Newton com as iterações detalhadas (cada passo mostra cálculo de
,
, correção e novo
).
Critério prático: parar quando a variação absoluta
Passo 6
Raiz 1 (negativa, intervalo
). Chute inicial
.
Iteração 0:
Iteração 0:
Aplicando Newton:
Iteração 1:
Iteração 2:
Calculo aproximado usando os valores obtidos:
Calculo aproximado usando os valores obtidos:
Iteração 3:
Uma iteração adicional dá correção da ordem
, portanto a convergência já atingiu seis casas decimais. Tomamos como raiz (aproximada com precisão de pelo menos
):
Passo 7
Raiz 2 (pequena, intervalo
). Chute inicial
.
Iteração 0:
Iteração 0:
Iteração 1:
Iteração 2:
A variação
é da ordem
. Com mais uma iteração chegamos a correção na ordem
. Aceitamos a raiz com precisão de 6 casas decimais:
Passo 8
Raiz 3 (positiva, intervalo
). Chute inicial
.
Iteração 0:
Iteração 0:
Iteração 1:
Iteração 2:
A variação já está abaixo de
e, usando a soma dos zeros (coeficiente de
é zero), podemos garantir consistência: as três raízes somam zero. Portanto tomamos a raiz com precisão adequada:
Passo 9
Resumo da razão dos resultados e verificação rápida (didática e motivacional).
- Aplicamos Newton–Raphson separadamente em chutes locais baseados em mudanças de sinal.
- Em cada caso calculamos
e e usamos a fórmula . - As correções rapidamente ficaram pequenas (método tem convergência quadrática perto da raiz), então em poucas iterações atingimos 6 casas decimais.
Você consegue reproduzir esse processo na prova: ache um chute por inspeção, calculee , aplique a fórmula e pare quando . Força aí, tá indo bem — Newton é chato só na primeira vez, depois vira rotina.