Determine o domínio,esboce a região do domínio no plano x y e encontre a imagem, de cada uma das funções abaixo.
r(x)=\ln (x-1)

Passo 1

O enunciado dá a função r(x)=\ln(x-1) e pede:
– o domínio de definição;
– o esboço da região do domínio no plano xy;
– a imagem da função.
Vamos usar o fato de que o logaritmo natural exige argumento estritamente positivo e que \ln mapeia (0,\infty) em (-\infty,\infty).

Passo 2

Para achar o domínio de r, impomos
x - 1 > 0,
pois o logaritmo só está definido para entrada positiva. Logo
x > 1.
Portanto o domínio é
(1,\infty).

Passo 3

No plano xy, o domínio corresponde ao conjunto de pontos cuja coordenada x satisfaz x>1. Em outras palavras, é o semiplano aberto à direita da reta x=1:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>1\}.

Passo 4

Para encontrar a imagem, note que ao variar x em (1,\infty), o argumento x-1 varia em (0,\infty) e, como
\ln:(0,\infty)\to(-\infty,\infty)
é sobrejetora, a imagem de r é todo o conjunto dos reais, isto é
(-\infty,\infty).

Resposta

Domínio: (1,\infty)
Região no plano xy: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x>1\}
Imagem: (-\infty,\infty)

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