Determine o domínio,esboce a região do domínio no plano x y e encontre a imagem, de cada uma das funções abaixo.
t(x)=3 \sin (x)+1

Passo 1

O enunciado pede, para a função
t(x)=3\sin(x)+1,
que a gente determine o domínio, esboce a região do domínio no plano xy e encontre a imagem. Vamos usar que \sin(x) está definido para todo x\in\mathbb{R} e que \sin(x) varia entre -1 e 1.

Passo 2

Para achar o domínio, basta notar que não há nenhuma restrição em x: \sin(x) é definido para todo número real.
Logo,
\text{Domínio} = \{\,x\in\mathbb{R}\}\;=\;\mathbb{R}.í

Passo 3

A região do domínio no plano xy é o conjunto de todos os pontos cuja coordenada x varia em \mathbb{R}, sem restrição em y. Em notação:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\in\mathbb{R}\}.
Geometricamente, isso corresponde a uma faixa vertical que se estende para a esquerda e para a direita sem limites.

Passo 4

Para a imagem, usamos que \sin(x)\in[-1,1]. Multiplicando por 3 e somando 1 temos
3\sin(x)\in[-3,3]\quad\Longrightarrow\quad 3\sin(x)+1\in[-3+1,\;3+1]=[-2,4].
Portanto,
\text{Imagem} = [-2,4].

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Região do domínio: faixa vertical \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\in\mathbb{R}\}
Imagem: [-2,4]

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