Durante a produção de pares elétron-pósitron, um fóton de alta energia é absorvido por um átomo e é observada a emissão de um elétron (
;
) e de sua antipartícula, um pósitron (
). Vamos analisar esse fenômeno usando fundamentos de eletromagnetismo, para isso assuma que: (i) a carga, a energia e o momentum linear total do sistema são conservados; (ii) as partículas são emitidas do mesmo ponto e com velocidades de mesma direção e sentido, tal que ambos deslocam-se verticalmente para baixo logo após terem sido gerados; (iii) o processo acontece no vácuo, em uma região onde não há fontes externas de campo elétrico, mas há um campo magnético uniforme de módulo 500 mT , que é perpendicular aos vetores velocidade inicial das duas partículas. Por gentileza, responda:
Quando essas partículas colidem, elas se aniquilam. Muito triste! Desconsiderando efeitos relativísticos, obtenha uma expressão que permita calcular o tempo de vida (período entre emissão e colisão) das partículas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a produção de um par elétron-pósitron quando um fóton de alta energia é absorvido por um átomo. A gente precisa encontrar uma expressão para calcular o tempo de vida dessas partículas, ou seja, o tempo entre a emissão e a colisão delas. Vamos usar conceitos de eletromagnetismo, assumindo a conservação de carga, energia e momento linear, além de considerar a presença de um campo magnético uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando temos um elétron e um pósitron sendo emitidos em um campo magnético. Como eles têm cargas opostas (elétron tem carga $ q = -1,6 \times 10^{-19} $ C e pósitron tem $ q = +1,6 \times 10^{-19} $ C), eles vão sentir forças magnéticas direcionadas de maneira oposta. A força magnética que uma partícula sente em um campo magnético $ \vec{B} $ é dada pela fórmula:
Onde:
- $ \vec{F} $ é a força magnética,
- $ q $ é a carga da partícula,
- $ \vec{v} $ é a velocidade da partícula,
- $ \vec{B} $ é o campo magnético.
Passo 3
Como o campo magnético está perpendicular à velocidade inicial das partículas, a força magnética vai atuar perpendicularmente à direção de movimento. Isso faz com que as partículas sigam trajetórias circulares. A intensidade da força magnética também está relacionada com o raio da trajetória circular $ r $ pela equação:
Onde:
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ v $ é a velocidade,
- $ r $ é o raio da trajetória circular.
Passo 4
Igualando as duas expressões para a força, temos:
Podemos simplificar $ v $ de ambos os lados:
Daí, isolando $ r $:
Passo 5
Agora, como o elétron e o pósitron têm cargas opostas, eles vão circular em sentidos opostos no campo magnético. Isso faz com que suas trajetórias eventualmente se encontrem novamente, levando à colisão e aniquilação.
O tempo que as partículas levam para completar uma volta completa na trajetória circular é o período $ T $, que é dado por:
Substituindo $ r $ da equação anterior:
Passo 6
Como o elétron e o pósitron circulam em sentidos opostos, o tempo para que se encontrem e aniquilem é metade do período, ou seja:
Resposta
Então, a expressão para calcular o tempo de vida das partículas é:
Onde:
- $ m $ é a massa das partículas,
- $ q $ é a carga das partículas,
- $ B $ é o módulo do campo magnético.