Dada as funções, simplifique a expressão
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} .
f(x)=\frac{3}{2-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente simplifique a diferença quociente
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
onde
f(x)=\frac{3}{2 - x^{2}}.
Para isso vamos calcular f(x+h), subtrair f(x), juntar frações, fatorar h e cancelar.

Passo 2

Calcular f(x+h). Basta substituir x por x+h em f:
f(x+h)=\frac{3}{2 - (x+h)^{2}}.

Passo 3

Formar a diferença f(x+h)-f(x) com denominador comum:
f(x+h)-f(x) =\frac{3}{2 - (x+h)^{2}}-\frac{3}{2 - x^{2}} =\frac{3\bigl[(2 - x^{2}) - \bigl(2 - (x+h)^{2}\bigr)\bigr]}{\bigl(2 - (x+h)^{2}\bigr)\,(2 - x^{2})}.

Passo 4

Simplificar o numerador (2 - x^{2}) - \bigl(2 - x^{2} - 2xh - h^{2}\bigr):
(2 - x^{2}) - \bigl(2 - x^{2} - 2xh - h^{2}\bigr) =2xh + h^{2}.
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f(x+h)-f(x) =\frac{3\,(2xh + h^{2})}{\bigl(2 - (x+h)^{2}\bigr)\,(2 - x^{2})}.

Passo 5

Agora dividimos toda a expressão por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{3\,(2xh + h^{2})}{h\;\bigl(2 - (x+h)^{2}\bigr)\,(2 - x^{2})} =\frac{3\,h\,(2x + h)}{h\;\bigl(2 - (x+h)^{2}\bigr)\,(2 - x^{2})}.
Cancelando h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{3\,(2x + h)}{\bigl(2 - (x+h)^{2}\bigr)\,(2 - x^{2})}.

Resposta

\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{3\,(2x + h)}{\bigl(2 - (x+h)^{2}\bigr)\,(2 - x^{2})}.

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