Dada as funções, simplifique a expressão
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} .
f(x)=\frac{x+2}{x+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o quociente de diferença
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
para a função
f(x)=\frac{x+2}{x+x^{2}}=\frac{x+2}{x(1+x)}.
Vamos usar álgebra de frações, expandir o numerador e, em seguida, cancelar o fator h.

Passo 2

Escrevemos f(x+h) substituindo x por x+h:
f(x+h)=\frac{(x+h)+2}{(x+h)+(x+h)^{2}} =\frac{x+h+2}{(x+h)\bigl(1+x+h\bigr)}.
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\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{1}{h}\,\biggl[ \frac{x+h+2}{(x+h)(1+x+h)} -\frac{x+2}{x(1+x)} \biggr].

Passo 3

Colocamos tudo sobre o mesmo denominador
x(1+x)(x+h)(1+x+h)
e obtemos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{1}{h}\,\frac{(x+h+2)\,x(1+x)\;-\;(x+2)\,(x+h)(1+x+h)} {x(1+x)(x+h)(1+x+h)}.

Passo 4

Expandimos os dois produtos do numerador.
Para (x+h+2)\,x(1+x) surge
x^3+3x^2+x^2h+xh+2x,
e para (x+2)\,(x+h)(1+x+h) surge
x^3+3x^2+2x^2h+5xh+xh^2+2h^2+2x+2h.
Subtraindo o segundo do primeiro, o numerador fica
-x^2h-4xh - xh^2 -2h^2 -2h.

Passo 5

Fatoramos -h no numerador:
-x^2h-4xh - xh^2 -2h^2 -2h =-h\bigl(x^2+4x + xh +2h +2\bigr).
Em seguida cancelamos h com o 1/h da frente, ficando

Passo 6

\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =-\frac{x^2+4x + xh +2h +2} {x(1+x)(x+h)(1+x+h)}.

Resposta

-\frac{x^2+4x + xh +2h +2} {x(1+x)(x+h)(1+x+h)}.

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