Trigonometria
Calcule o valor da expressão \frac{\operatorname{sec} x-\cos x}{\operatorname{cossec} x-\operatorname{sen} x} \quad sabendo que \quad \operatorname{cotg} x=\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\frac{\operatorname{sec} x - \cos x}{\csc x - \sin x}
sabendo que \cot x = \tfrac{1}{3}. Vamos usar a definição \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} e a identidade pitagórica para determinar \sin x e \cos x.

Passo 2

Da relação \cot x = \tfrac{\cos x}{\sin x} = \tfrac{1}{3} temos
\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad \cos x = \frac{1}{3}\,\sin x.
Usando \sin^2x + \cos^2x = 1 substituímos \cos x:
\sin^2x + \Bigl(\tfrac{1}{3}\sin x\Bigr)^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sin^2x + \tfrac{1}{9}\sin^2x = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{10}{9}\sin^2x = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sin^2x = \frac{9}{10}.
Como assumimos x no primeiro quadrante, \sin x>0, logo
\sin x = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \cos x = \frac{1}{3}\,\sin x = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}.

Passo 3

Agora calculamos as recíprocas:
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x} = \sqrt{10}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{\sqrt{10}}{3}.

Passo 4

Calculamos o numerador:
\operatorname{sec} x - \cos x = \sqrt{10} - \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{10 - 1}{\sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}}.

Passo 5

Calculamos o denominador:
\csc x - \sin x = \frac{\sqrt{10}}{3} - \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{10 - 9}{3\sqrt{10}} = \frac{1}{3\sqrt{10}}.

Passo 6

Finalmente, a expressão fica
\frac{\operatorname{sec} x - \cos x}{\csc x - \sin x} = \frac{\tfrac{9}{\sqrt{10}}}{\tfrac{1}{3\sqrt{10}}} = \frac{9}{\sqrt{10}}\;\times\;3\sqrt{10} = 27.

Resposta

27

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