Resolva as inequações abaixo:
|x|-|x-2|>x-1

Passo 1

O enunciado pede a solução da inequação
|x| - |x-2| > x - 1.
Para resolver uma inequação com valores absolutos, primeiro identificamos os pontos onde os módulos mudam de expressão: x=0 e x=2. Assim, vamos estudar separadamente as regiões x<0, 0\le x<2 e x\ge2.

Passo 2

Região x<0:
Nesse caso |x|=-x e |x-2|=2-x. Logo
|x|-|x-2|=-x-(2-x)=-2
e a inequação fica
-2 > x - 1.
Resolvendo,
-2 +1 > x \quad\Longrightarrow\quad -1 > x \quad\Longrightarrow\quad x < -1.
Intersecção com x<0
x < -1.

Passo 3

Região 0 \le x < 2:
Aqui |x|=x e |x-2|=2-x, então
|x|-|x-2| = x - (2-x) = 2x - 2
e a inequação é
2x - 2 > x - 1.
Isolando x,
2x - x > -1 + 2 \quad\Longrightarrow\quad x > 1.
Intersecção com 0 \le x < 2
1 < x < 2.

Passo 4

Região x \ge 2:
Agora |x|=x e |x-2|=x-2, logo
|x|-|x-2| = x - (x-2) = 2
e a inequação fica
2 > x - 1.
Isso leva a
2 + 1 > x \quad\Longrightarrow\quad 3 > x \quad\Longrightarrow\quad x < 3.
Intersecção com x \ge 2
2 \le x < 3.

Passo 5

Unindo as soluções de cada região, temos
x < -1,\quad 1 < x < 2,\quad 2 \le x < 3.
Note que (1,2)\cup[2,3)=(1,3). Portanto a solução final é
(-\infty,-1)\,\cup\,(1,3).

Resposta

(-\infty,-1)\cup(1,3)

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