Resolva as inequações abaixo:
\frac{1}{x^{3}+x^{2}-8 x-12} \leq \frac{1}{x^{3}+10 x^{2}+23 x+14}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{1}{x^{3}+x^{2}-8x-12} \;\le\; \frac{1}{x^{3}+10x^{2}+23x+14}.
O conteúdo é manipulação de inequação de frações e análise de sinal de um quociente. Vamos precisar (1) trazer tudo para um único lado, (2) fatorar numerador e denominador, (3) montar o quadro de sinais.

Passo 2

Passo inicial: subtrair as duas frações e reduzir a inequação a
\frac{1}{f(x)} - \frac{1}{g(x)} \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{g(x)-f(x)}{f(x)\,g(x)} \le 0,
onde
f(x)=x^{3}+x^{2}-8x-12, \quad g(x)=x^{3}+10x^{2}+23x+14.
Calculamos o numerador:
g(x)-f(x) = (x^3+10x^2+23x+14) - (x^3+x^2-8x-12) =9x^2+31x+26.

Passo 3

Agora fatoramos cada polinômio:
  1. 9x^2+31x+26 tem discrimante \Delta=31^2-4\cdot9\cdot26=25, logo raízes
x=\frac{-31\pm5}{18} \quad\Longrightarrow\quad x=-2,\quad x=-\tfrac{13}{9}.
Assim
9x^2+31x+26 = 9(x+2)\Bigl(x+\tfrac{13}{9}\Bigr).
  1. Para f(x)=x^3+x^2-8x-12, testa-se x=3 e dá zero, dividindo obtemos
f(x)=(x-3)(x+2)^2.
  1. Para g(x)=x^3+10x^2+23x+14, testa-se x=-1 e dá zero, dividindo obtemos
g(x)=(x+1)(x+7)(x+2).
Logo o denominador do quociente é
f(x)\,g(x)=(x-3)(x+2)^2\,(x+1)(x+7)(x+2) =(x-3)(x+1)(x+7)(x+2)^3.

Passo 4

A inequação virou
\frac{9(x+2)\bigl(x+\tfrac{13}{9}\bigr)}{(x-3)(x+1)(x+7)(x+2)^3} \le 0.
Cancelamos um fator (x+2), lembrando que x=-2 fica excluído (denominador zero). Como resta (x+2)^2>0, a expressão tem o mesmo sinal de
Q(x)=\frac{x+\tfrac{13}{9}}{(x-3)(x+1)(x+7)}.
Então resolvemos Q(x)\le0, com pontos críticos
x=-\tfrac{13}{9},\;-7,\;-1,\;3,
além de x=-2 onde a função é indefinida mas não muda de sinal (mult.\ par).

Passo 5

Vamos ao quadro de sinais de Q(x). Ordenando os críticos:
-\,\infty,\;-7,\;-2,\;-\tfrac{13}{9},\;-1,\;3,\;+\infty.
Analisando sinal em cada intervalo (ou testando pontos), obtemos
  • Q(x)>0 em (-\infty,-7) e em (-\tfrac{13}{9},-1) e em (3,\infty).
  • Q(x)<0 em (-7,-2), em (-2,-\tfrac{13}{9}) e em (-1,3).
  • Q(x)=0 em x=-\tfrac{13}{9}, permitido pois nem f nem g zeram lá.
  • Excluídos x=-7,-2,-1,3 (denominadores originais nulos).
Queremos Q(x)\le0, isto é as partes negativas mais o zero:

Resposta

(-7,-2)\,\cup\,(-2,-\tfrac{13}{9}]\,\cup\,(-1,3).

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