Trigonometria
Determine o valor de A=\frac{\sin (x)+\tan (x)}{\cot (x) \operatorname{sec} (x)}, sabendo que \sin x=4 / 5 e que x pertence ao primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
A = \frac{\sin(x) + \tan(x)}{\cot(x)\,\operatorname{sec}(x)}
sabendo que \sin(x)=\tfrac{4}{5} e que x está no primeiro quadrante. Vamos usar as identidades trigonométricas básicas:
– Identidade pitagórica \sin^2(x)+\cos^2(x)=1.
– Definições \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}, \cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}, \operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)}.

Passo 2

Como \sin(x)=\tfrac{4}{5} e x está no primeiro quadrante (onde tudo é positivo), aplicamos a identidade pitagórica para achar \cos(x):
\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2 = 1 - \tfrac{16}{25} = \tfrac{9}{25},
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\cos(x) = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}.

Passo 3

Agora calculamos as demais funções:
\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\tfrac{4}{5}}{\tfrac{3}{5}} = \tfrac{4}{3},
\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \tfrac{3}{4},
\operatorname{sec}(x) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{1}{\tfrac{3}{5}} = \tfrac{5}{3}.

Passo 4

Substituímos tudo na expressão de A:
A = \frac{\sin(x) + \tan(x)}{\cot(x)\,\operatorname{sec}(x)} = \frac{\tfrac{4}{5} + \tfrac{4}{3}}{\tfrac{3}{4}\,\cdot\,\tfrac{5}{3}}.
No numerador, somamos frações com denominador comum 15:
\tfrac{4}{5} + \tfrac{4}{3} = \tfrac{12}{15} + \tfrac{20}{15} = \tfrac{32}{15}.
No denominador, multiplicamos direto:
\tfrac{3}{4}\,\cdot\,\tfrac{5}{3} = \tfrac{5}{4}.

Passo 5

Fica então
A = \frac{\tfrac{32}{15}}{\tfrac{5}{4}} = \tfrac{32}{15} \times \tfrac{4}{5} = \tfrac{128}{75}.

Resposta

\displaystyle A = \tfrac{128}{75}.

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