Dada a hamiltoniana H=p^{2} / 2 m+\mathbf{a} \cdot \mathbf{p}+V, \operatorname{com} \mathbf{a}=\mathbf{a}(\mathbf{r}) e V=V(\mathbf{r}), encontre a lagrangiana correspondente. No caso V=-\mathbf{F} \cdot \mathbf{r} com a e \mathbf{F} vetores constantes, obtenha a solução das equações de Hamilton com as condições iniciais \mathbf{r}(0)=0 e \mathbf{p}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a hamiltoniana
H(\mathbf r,\mathbf p)=\frac{\mathbf p^{2}}{2m}+\mathbf a(\mathbf r)\cdot\mathbf p+V(\mathbf r)
e pede (i) a lagrangiana correspondente via transformada de Legendre e (ii) no caso especial V=-\mathbf F\cdot\mathbf r com \mathbf a e \mathbf F constantes, resolver as equações de Hamilton com \mathbf r(0)=\mathbf0, \mathbf p(0)=\mathbf0. Vamos usar ( 1) \dot{\mathbf r}=\partial H/\partial\mathbf p, ( 2) L=\mathbf p\cdot\dot{\mathbf r}-H, e depois integrar as equações canônicas.

Passo 2

Calculemos primeiro
\dot{\mathbf r}=\frac{\partial H}{\partial\mathbf p} =\frac{\mathbf p}{m}+\mathbf a(\mathbf r).
Invertendo para \mathbf p em função de \dot{\mathbf r} e \mathbf r, obtemos
\mathbf p = m\bigl(\dot{\mathbf r}-\mathbf a(\mathbf r)\bigr).

Passo 3

Agora a lagrangiana é
L(\mathbf r,\dot{\mathbf r}) =\mathbf p\cdot\dot{\mathbf r}-H =m\bigl(\dot{\mathbf r}-\mathbf a(\mathbf r)\bigr)\cdot\dot{\mathbf r} -\Bigl[\tfrac{1}{2m}\mathbf p^{2}+\mathbf a(\mathbf r)\cdot\mathbf p+V(\mathbf r)\Bigr].
Substituindo \mathbf p = m(\dot{\mathbf r}-\mathbf a) e simplificando, chega-se a
L(\mathbf r,\dot{\mathbf r}) =\frac{m}{2}\bigl\|\dot{\mathbf r}-\mathbf a(\mathbf r)\bigr\|^{2}-V(\mathbf r).

Passo 4

No caso V=-\mathbf F\cdot\mathbf r e \mathbf a,\mathbf F constantes, as equações de Hamilton são
\dot{\mathbf r} =\frac{\mathbf p}{m}+\mathbf a, \qquad \dot{\mathbf p} =-\frac{\partial H}{\partial\mathbf r} =-\Bigl(\nabla\mathbf a\Bigr)^{T}\mathbf p -\nabla V(\mathbf r).
Como \mathbf a é constante, \nabla\mathbf a=0, e \nabla V=-\nabla(\mathbf F\cdot\mathbf r)=-\mathbf F. Logo
\dot{\mathbf r} =\frac{\mathbf p}{m}+\mathbf a, \qquad \dot{\mathbf p} =\mathbf F.

Passo 5

Integramos com as condições iniciais \mathbf p(0)=\mathbf0, \mathbf r(0)=\mathbf0:
1. De \dot{\mathbf p}=\mathbf F segue
\mathbf p(t)=\mathbf F\,t+\mathbf C_1,
e como \mathbf p(0)=\mathbf0 então \mathbf C_1=\mathbf0,
\mathbf p(t)=\mathbf F\,t.
2. De \dot{\mathbf r}=(\mathbf p/m)+\mathbf a vem
\dot{\mathbf r}(t) =\frac{\mathbf F\,t}{m}+\mathbf a \quad\Longrightarrow\quad \mathbf r(t) =\int_{0}^{t}\Bigl(\frac{\mathbf F\,t'}{m}+\mathbf a\Bigr)\,dt' =\mathbf a\,t+\frac{\mathbf F}{2m}\,t^{2}+\mathbf C_2.
Como \mathbf r(0)=\mathbf0, tem-se \mathbf C_2=\mathbf0,
\mathbf r(t) =\mathbf a\,t+\frac{\mathbf F}{2m}\,t^{2}.

Resposta

Lagrangiana geral:
L(\mathbf r,\dot{\mathbf r}) =\frac{m}{2}\bigl\|\dot{\mathbf r}-\mathbf a(\mathbf r)\bigr\|^{2}-V(\mathbf r).
Para V=-\mathbf F\cdot\mathbf r, \mathbf a,\mathbf F constantes e \mathbf r(0)=\mathbf p(0)=\mathbf0:
\mathbf p(t)=\mathbf F\,t, \qquad \mathbf r(t)=\mathbf a\,t+\frac{\mathbf F}{2m}\,t^{2}.

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