Uma massa m oscila num plano vertical fixo suspensa por um fio de massa desprezível que passa por um orifício numa mesa horizontal. O fio é puxado através do orifício a uma taxa constante, de tal modo que o comprimento pendente no instante t é r=\ell-\alpha t, onde \ell e \alpha são constantes positivas. Escolhendo o ângulo que o fio faz com a vertical como coordenada generalizada, encontre a hamiltoniana do sistema. A hamiltoniana é a energia total? A hamiltoniana é constante de movimento?

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo de massa m cujo fio de massa desprezível tem comprimento variável
r(t)=\ell-\alpha t,
e que oscila num plano vertical sob a gravidade. A coordenada generalizada é o ângulo \varphi que o fio faz com a vertical. Para obter a hamiltoniana, vamos:
1. escrever a Lagrangiana L=T-V com r dado,
2. calcular o momento canônico p_\varphi,
3. fazer a transformada de Legendre e expressar H em termos de (\varphi,p_\varphi,t).

Passo 2

A energia cinética é
T=\tfrac12\,m\bigl(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2\bigr),
com \dot r=-\alpha (constante). Tomando o potencial gravitacional
V=-mg\,r\cos\varphi,
a Lagrangiana fica
L=T-V =\tfrac12\,m\bigl(\alpha^2+r^2\dot\varphi^2\bigr)+mg\,r\cos\varphi.

Passo 3

O momento canônico conjugado a \varphi é
p_\varphi=\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi} =m\,r^2\dot\varphi.

Passo 4

A hamiltoniana é
H =p_\varphi\dot\varphi - L = m\,r^2\dot\varphi^2 -\Bigl[\tfrac12\,m(\alpha^2+r^2\dot\varphi^2)+mg\,r\cos\varphi\Bigr] = \tfrac12\,m\,r^2\dot\varphi^2-\tfrac12\,m\alpha^2-mg\,r\cos\varphi.
Substituindo \dot\varphi=p_\varphi/(mr^2) e r=\ell-\alpha t, obtemos
\boxed{% H(\varphi,p_\varphi,t) =\frac{p_\varphi^2}{2m(\ell-\alpha t)^2} -\frac12\,m\alpha^2 -mg\bigl(\ell-\alpha t\bigr)\cos\varphi. }

Passo 5

A energia mecânica total é
E=T+V =\tfrac12\,m\bigl(\alpha^2+r^2\dot\varphi^2\bigr)-mg\,r\cos\varphi.
Comparando com H, vemos
H=E-m\alpha^2,
ou seja, H difere de E por uma constante. Portanto não coincide exatamente com a energia total.

Passo 6

Como \ell-\alpha t aparece em H, temos \partial H/\partial t\neq0 e, pelas equações de Hamilton,
\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}\neq0.
Logo H não é constante de movimento.

Resposta

H(\varphi,p_\varphi,t) =\frac{p_\varphi^2}{2m(\ell-\alpha t)^2} -\frac12\,m\alpha^2 -mg\bigl(\ell-\alpha t\bigr)\cos\varphi.
Não coincide com a energia total (difere por -m\alpha^2) e não é constante de movimento.

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