Uma massa
oscila num plano vertical fixo suspensa por um fio de massa desprezível que passa por um orifício numa mesa horizontal. O fio é puxado através do orifício a uma taxa constante, de tal modo que o comprimento pendente no instante
é
, onde
e
são constantes positivas. Escolhendo o ângulo que o fio faz com a vertical como coordenada generalizada, encontre a hamiltoniana do sistema. A hamiltoniana é a energia total? A hamiltoniana é constante de movimento?
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo de massa
cujo fio de massa desprezível tem comprimento variável
e que oscila num plano vertical sob a gravidade. A coordenada generalizada é o ângulo
que o fio faz com a vertical. Para obter a hamiltoniana, vamos:
. escrever a Lagrangiana
com
dado,
. calcular o momento canônico
,
. fazer a transformada de Legendre e expressar
em termos de
.
Passo 2
A energia cinética é
com
(constante). Tomando o potencial gravitacional
a Lagrangiana fica
Passo 3
O momento canônico conjugado a
é
Passo 4
A hamiltoniana é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
A energia mecânica total é
Comparando com
, vemos
ou seja,
difere de
por uma constante. Portanto não coincide exatamente com a energia total.
Passo 6
Como
aparece em
, temos
e, pelas equações de Hamilton,
Logo
não é constante de movimento.
Resposta
Não coincide com a energia total (difere por
) e não é constante de movimento.