(i) Dada a lagrangiana
encontre a hamiltoniana correspondente. (ii) Esta hamiltoniana é constante de movimento? (iii) Mostre que a hamiltoniana expressa em termos da nova variável
e de seu momento canônico conjugado não depende explicitamente do tempo. Que sistema físico ela representa?
Passo 1
O enunciado nos dá a lagrangiana dependente do tempo
e pede: (i) a hamiltoniana via transformação de Legendre; (ii) se ela é constante de movimento; (iii) que mostremos que, na mudança de variável
o novo Hamiltoniano não depende de
e que identifiquemos o sistema físico correspondente.
Passo 2
Calculemos o momento canônico conjugado a
:
Isolando
, note que
, então
Passo 3
A hamiltoniana é
Substituindo
e usando a relação acima, após simplificar encontra-se
Esse
depende explicitamente de
.
Passo 4
Como
, concluímos que a hamiltoniana não é constante de movimento (isto é,
).
Passo 5
Façamos a transformação de ponto
O momento conjugado
a
resulta
Reescrevendo
em termos de
e incluindo o termo gerado por
, obtém-se
que é autônomo (sem dependência explícita de
).
Esse Hamiltoniano é o de um oscilador harmônico simples de frequência angular
.
Resposta
(i)
(ii) Não é constante de movimento, pois
.
(iii) Em e
o Hamiltoniano fica
(iii) Em
que descreve um oscilador harmônico simples de frequência
.