(i) Dada a lagrangiana
L=\frac{\dot{Q}^{2}}{2} \cos ^{2} \omega t-\frac{\omega}{2} Q \dot{Q} \operatorname{sen} 2 \omega t-\frac{\omega^{2} Q^{2}}{2} \cos 2 \omega t,
encontre a hamiltoniana correspondente. (ii) Esta hamiltoniana é constante de movimento? (iii) Mostre que a hamiltoniana expressa em termos da nova variável q=Q \cos \omega t e de seu momento canônico conjugado não depende explicitamente do tempo. Que sistema físico ela representa?

Passo 1

O enunciado nos dá a lagrangiana dependente do tempo
L=\frac{\dot{Q}^{2}}{2}\cos^{2}\omega t-\frac{\omega}{2}Q\dot{Q}\,\sin2\omega t-\frac{\omega^{2}Q^{2}}{2}\cos2\omega t
e pede: (i) a hamiltoniana via transformação de Legendre; (ii) se ela é constante de movimento; (iii) que mostremos que, na mudança de variável
q=Q\cos\omega t,
o novo Hamiltoniano não depende de t e que identifiquemos o sistema físico correspondente.

Passo 2

Calculemos o momento canônico conjugado a Q:
P\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot Q} =\dot Q\cos^{2}\omega t-\frac{\omega}{2}\,Q\sin2\omega t.
Isolando \dot Q, note que \sin2\omega t=2\sin\omega t\cos\omega t, então
\dot Q\cos^{2}\omega t = P+\frac{\omega}{2}Q\sin2\omega t \;\Longrightarrow\; \dot Q=\frac{P+\frac{\omega}{2}Q\sin2\omega t}{\cos^{2}\omega t}.

Passo 3

A hamiltoniana é
H=P\dot Q-L.
Substituindo L e usando a relação acima, após simplificar encontra-se
H(Q,P,t) =\frac{1}{2\cos^{2}\omega t}\Bigl(P+\tfrac{\omega}{2}Q\sin2\omega t\Bigr)^{2} +\frac{\omega^{2}Q^{2}}{2}\cos2\omega t.
Esse H depende explicitamente de t.

Passo 4

Como \partial H/\partial t\neq0, concluímos que a hamiltoniana não é constante de movimento (isto é, dH/dt\neq0).

Passo 5

Façamos a transformação de ponto
q=Q\cos\omega t.
O momento conjugado p a q resulta
p=\frac{\partial L}{\partial\dot q} =\frac{\partial Q}{\partial q}\,P \;=\;\frac{P}{\cos\omega t}.
Reescrevendo H em termos de (q,p) e incluindo o termo gerado por \partial Q/\partial t, obtém-se
K(q,p) =\frac{p^{2}}{2}+\frac{\omega^{2}q^{2}}{2},
que é autônomo (sem dependência explícita de t).
Esse Hamiltoniano é o de um oscilador harmônico simples de frequência angular \omega.

Resposta

(i)
H(Q,P,t) =\frac{1}{2\cos^{2}\omega t}\Bigl(P+\tfrac{\omega}{2}Q\sin2\omega t\Bigr)^{2} +\frac{\omega^{2}Q^{2}}{2}\cos2\omega t.
(ii) Não é constante de movimento, pois \partial H/\partial t\neq0.
(iii) Em q=Q\cos\omega t e p=P/\cos\omega t o Hamiltoniano fica
K(q,p)=\frac{p^{2}}{2}+\frac{\omega^{2}q^{2}}{2},
que descreve um oscilador harmônico simples de frequência \omega.

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