O movimento de certas turbulências no hélio líquido é descrito aproximadamente pela hamiltoniana H(x, p)=A \sqrt{p}-F x, A e F constantes. (i) Encontre a solução geral das equações de Hamilton. (ii) Determine a lagrangiana associada a esta hamiltoniana.

Passo 1

O enunciado dá a hamiltoniana
H(x,p)=A\sqrt{p}-F\,x,
com A e F constantes, e pede:
1. a solução geral das equações de Hamilton;
2. a lagrangiana associada, via transformada de Legendre.

Passo 2

As equações de Hamilton são
\dot x \;=\;\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{A}{2\sqrt{p}}, \qquad \dot p\;=\;-\frac{\partial H}{\partial x}=F.
Da segunda temos \dot p=F, logo
p(t)=F\,t + p_{0},
onde p_{0}=p(0).

Passo 3

Substituindo p(t) em \dot x=\tfrac{A}{2\sqrt{p(t)}} e integrando,
\dot x=\frac{A}{2\sqrt{F\,t+p_{0}}} \quad\Longrightarrow\quad x(t)=\frac{A}{F}\,\sqrt{F\,t+p_{0}}+x_{0},
com x_{0} constante de integração.

Passo 4

Para achar a lagrangiana fazemos a transformada de Legendre
L = p\,\dot x - H.
Como \dot x=\tfrac{A}{2\sqrt p}, invertemos para \sqrt p=\tfrac{A}{2\dot x} e p=\tfrac{A^2}{4\dot x^2}. Substituindo em L:
p\,\dot x=\frac{A^2}{4\dot x}, \quad H=\frac{A^2}{2\dot x}-F\,x,
logo
L = \frac{A^2}{4\dot x}-\Bigl(\frac{A^2}{2\dot x}-F\,x\Bigr) =F\,x-\frac{A^2}{4\dot x}.

Resposta

(i) \,p(t)=F\,t+p_{0},\quad x(t)=\tfrac{A}{F}\sqrt{F\,t+p_{0}}+x_{0}.
(ii) \,L(x,\dot x)=F\,x-\dfrac{A^2}{4\,\dot x}.

Exercícios relacionados