O movimento de certas turbulências no hélio líquido é descrito aproximadamente pela hamiltoniana
e
constantes. (i) Encontre a solução geral das equações de Hamilton. (ii) Determine a lagrangiana associada a esta hamiltoniana.
Passo 1
O enunciado dá a hamiltoniana
com
e
constantes, e pede:
. a solução geral das equações de Hamilton;
. a lagrangiana associada, via transformada de Legendre.
Passo 2
As equações de Hamilton são
Da segunda temos
, logo
onde
.
Passo 3
Substituindo
em
e integrando,
com
constante de integração.
Passo 4
Para achar a lagrangiana fazemos a transformada de Legendre
Como
, invertemos para
e
. Substituindo em
:
logo
Resposta
(i)
(ii)
(ii)