Dadas as equações abaixo, classifique as cônicas e determine seus elementos:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para classificar a cônica e determinar seus elementos. Vamos usar teoria de classificação via discriminante e completar quadrados para obter a forma reduzida.
Passo 2
Na forma geral
temos
,
,
. O discriminante é
Como
e
têm o mesmo sinal e
, trata-se de uma elipse.
Passo 3
Agrupamos e completamos quadrados em
e em
:
Agora, em
acrescentamos e subtraímos
, e em
acrescentamos e subtraímos
:
Distribuindo:
Passo 4
Colocando em forma padrão dividindo por
:
Passo 5
Da forma
vemos que o centro é
, o semi-eixo maior vale
e o semi-eixo menor vale
. Como
, o eixo maior é horizontal.
Passo 6
Para os focos calculamos
Assim os focos são
, ou seja
e
.
Os vértices sobre o eixo maior são , isto é
e
.
Os vértices sobre o eixo menor são , isto é
e
.
Os vértices sobre o eixo maior são
Os vértices sobre o eixo menor são
Resposta
Classe da cônica: elipse.
Centro: .
Semi-eixos: (horizontal),
(vertical).
Vértices maiores: ,
.
Vértices menores: ,
.
Focos: ,
.
Centro:
Semi-eixos:
Vértices maiores:
Vértices menores:
Focos: