Dadas as equações abaixo, classifique as cônicas e determine seus elementos:
9 x^2+25 y^2-36 x+50 y-164=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
9x^2+25y^2-36x+50y-164=0
e pede para classificar a cônica e determinar seus elementos. Vamos usar teoria de classificação via discriminante e completar quadrados para obter a forma reduzida.

Passo 2

Na forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 temos A=9, B=0, C=25. O discriminante é
De<a = B^2 - 4AC = 0^2 - 4cdot9cdot25 = -900 < 0
Como A e C têm o mesmo sinal e De<a<0, trata-se de uma elipse.

Passo 3

Agrupamos e completamos quadrados em x e em y:
9x^2 -36x +25y^2 +50y -164=0 Longrightarrow 9l(x^2-4xr)+25l(y^2+2yr)-164=0
Agora, em x^2-4x acrescentamos e subtraímos 4, e em y^2+2y acrescentamos e subtraímos 1:
9l[(x-2)^2-4r]+25l[(y+1)^2-1r]-164=0
Distribuindo:
9(x-2)^2-36 +25(y+1)^2-25 -164=0 ;Longrightarrow; 9(x-2)^2+25(y+1)^2-225=0

Passo 4

Colocando em forma padrão dividindo por 225:
9(x-2)^2225+25(y+1)^2225=1 Longrightarrow (x-2)^225+(y+1)^29=1

Passo 5

Da forma
(x-2)^25^2+(y+1)^23^2=1
vemos que o centro é (2,-1), o semi-eixo maior vale a=5 e o semi-eixo menor vale b=3. Como a>b, o eixo maior é horizontal.

Passo 6

Para os focos calculamos
c^2 = a^2 - b^2 = 5^2 - 3^2 =25-9=16 ;Longrightarrow; c=4
Assim os focos são l(2pm4,-1r), ou seja (-2,-1) e (6,-1).
Os vértices sobre o eixo maior são l(2pm5,-1r), isto é (-3,-1) e (7,-1).
Os vértices sobre o eixo menor são l(2,-1pm3r), isto é (2,2) e (2,-4).

Resposta

Classe da cônica: elipse.
Centro: (2,-1).
Semi-eixos: a=5 (horizontal), b=3 (vertical).
Vértices maiores: (-3,-1), (7,-1).
Vértices menores: (2,2), (2,-4).
Focos: (-2,-1), (6,-1).

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