Escreva
(volume da região
), onde
é a região dentro da esfera
e fora do cilindro
, utilizando coordenadas:
(0.4) Cartesianas.
(0.4) Cartesianas.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região
dada por
Estamos usando coordenadas cartesianas para montar
.
Passo 2
A projeção de
no plano
é o anel
Para cada
, a coordenada
varia entre as duas “tampas” da esfera:
Passo 3
Logo, podemos escrever
Passo 4
Para expressar
em coordenadas cartesianas, notamos que
exige
e
tais que
. Uma forma explícita é decompor em três faixas de
:
. Se
ou
, então
.
. Se
, então
vai de
até
.
Agrupando, obtemos a integral em três partes: