Escreva integralegral triplaW 1 d V (volume da região W ), onde W é a região dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4 e fora do cilindro x^2+y^2=1, utilizando coordenadas:
(0.4) Cartesianas.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região W dada por
W=(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=4,;x^2+y^2>=1
Estamos usando coordenadas cartesianas para montar
integral triplaW1,dV.

Passo 2

A projeção de W no plano xy é o anel
D=(x,y)mid 1<= x^2+y^2<=4
Para cada (x,y)in D, a coordenada z varia entre as duas “tampas” da esfera:
-raiz4 - x^2-y^2;<=;z;<=;raiz4 - x^2-y^2

Passo 3

Logo, podemos escrever
integral triplaW1,dV =integral duplaDl[integralz=-raiz4 - x^2-y^2^raiz4 - x^2-y^21,dzr],dA

Passo 4

Para expressar integral duplaD em coordenadas cartesianas, notamos que D exige x e y tais que 1<= x^2+y^2<=4. Uma forma explícita é decompor em três faixas de x:
1. Se -2<= x<= -1 ou 1<= x<=2, então -raiz4-x^2<= y<=raiz4-x^2.
2. Se -1<= x<=1, então lvert yrvert vai de raiz1-x^2 até raiz4-x^2.
Agrupando, obtemos a integral em três partes:
integral triplaW1,dV =&integralx=-2^-1integraly=-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralz=-raiz4-x^2-y^2^raiz4-x^2-y^2 ,dz,dy,dx[6pt] +&integralx=-1^1l[integraly=-raiz4-x^2^-raiz1-x^2 +integraly=raiz1-x^2^raiz4-x^2r] integralz=-raiz4-x^2-y^2^raiz4-x^2-y^2 ,dz,dy,dx[6pt] +&integralx=1^2integraly=-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralz=-raiz4-x^2-y^2^raiz4-x^2-y^2 ,dz,dy,dx ]

Resposta

integral triplaW1,dV =&integralx=-2^-1integraly=-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralz=-raiz4-x^2-y^2^raiz4-x^2-y^2 dz,dy,dx &+integralx=-1^1l[integraly=-raiz4-x^2^-raiz1-x^2 +integraly=raiz1-x^2^raiz4-x^2r] integralz=-raiz4-x^2-y^2^raiz4-x^2-y^2 dz,dy,dx &+integralx=1^2integraly=-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralz=-raiz4-x^2-y^2^raiz4-x^2-y^2 dz,dy,dx

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