Se z=z(x, y) é dada implicitamente por
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
. Mostre que a equação do plano tangente em um ponto (x0, y0, z0) é dada por
x0 xa^2+y0 yb^2+z0 zc^2=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
e pede a equação do plano tangente no ponto l(x0,y0,z0r).
Conteúdo: plano tangente a superfície de nível via gradiente.

Passo 2

Definimos a função de nível
F(x,y,z)=x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2-1,
então a superfície é F(x,y,z)=0. O gradiente de F é
nabla F(x,y,z)=l(2xa^2,,2yb^2,,2zc^2r)

Passo 3

A equação geral do plano tangente a F(x,y,z)=0 em (x0,y0,z0) é
nabla F(x0,y0,z0)cdotl(x-x0,,y-y0,,z-z0r)=0

Passo 4

Substituindo nabla F(x0,y0,z0)=(2x0/a^2,,2y0/b^2,,2z0/c^2) na equação do plano, obtemos
2x0a^2(x-x0)+2y0b^2(y-y0)+2z0c^2(z-z0)=0
Cancelando o fator 2 e agrupando termos:
x0xa^2+y0yb^2+z0zc^2 ;-;l(x0^2a^2+y0^2b^2+z0^2c^2r)=0

Passo 5

Como l(x0,y0,z0r) satisfaz a superfície, vale
x0^2a^2+y0^2b^2+z0^2c^2=1
Logo a expressão acima reduz-se a
x0xa^2+y0yb^2+z0zc^2=1

Resposta

x0xa^2+y0yb^2+z0zc^2=1

Exercícios relacionados