Suponha que r(t)=(t^2, t^3-2 t, t^2-5 t) seja o vetor posição de uma partícula em movimento. Em quais pontos a partícula passa pelo plano x y ? Qual é a sua velocidade e aceleração nesses pontos?

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial de posição
r(t) = (t^2,;t^3 - 2t,;t^2 - 5t)
e pede os pontos em que a partícula cruza o plano xy (que é z=0), além de sua velocidade e aceleração nesses pontos. Vamos usar a condição z(t)=0 para achar os instantes, depois calcular v(t)=r'(t) e a(t)=r''(t) e avaliá-los em cada instante.

Passo 2

Para cruzar o plano xy precisamos de
t^2 - 5t = 0
que fatorada dá
t(t - 5) = 0
Logo os instantes são
t = 0 e t = 5

Passo 3

Agora achamos os pontos substituindo em r(t):
r(0) = (0^2,;0^3-0,;0^2-0) = (0,0,0),
r(5) = (5^2,;5^3-2cdot5,;5^2-5cdot5) = (25,;125-10,;25-25) = (25,115,0)

Passo 4

Calculamos a velocidade geral
v(t) = r'(t) = (2t,;3t^2 - 2,;2t - 5)
e avaliamos em t=0 e t=5:
v(0) = (0,,-2,,-5),
v(5) = (10,;3cdot25-2,;10-5) = (10,;73,;5)

Passo 5

Calculamos a aceleração geral
a(t) = r''(t) = (2,;6t,;2)
e avaliamos em t=0 e t=5:
a(0) = (2,,0,,2),
a(5) = (2,,30,,2)

Resposta

Em t=0: r(0)=(0,0,0), v(0)=(0,-2,-5) e a(0)=(2,0,2)
Em t=5: r(5)=(25,115,0), v(5)=(10,73,5) e a(5)=(2,30,2)

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