Dada a integral dupla a seguir:
(a)
Esboce a região de integração.
(b)
Interprete a região de integração como sendo do Tipo II.
(c)
Calcule a integral.
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com a integral dupla
Matéria: integrais duplas e troca de ordem de integração.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Desenhar a região de integração no plano
. - Reescrever essa mesma região como Tipo II (ou seja, integrar primeiro em
e depois em ). - Calcular a integral trocando a ordem e usando uma substituição simples.
Passo 2
(a) Esboçando a região
– As desigualdades são e
.
– A reta passa pela origem e chega a
.
– A reta é horizontal.
– Em ,
vai de 0 a 2, gerando o vértice
e
.
Assim a região é o triângulo com vértices ,
e
.
– As desigualdades são
– A reta
– A reta
– Em
Assim a região é o triângulo com vértices
Passo 3
(b) Descrevendo como região do Tipo II
Para cada valor de entre 0 e 2,
varia desde a reta
até a reta obtida de
, ou seja,
.
Logo a ordem invertida é
Para cada valor de
Logo a ordem invertida é
e a integral vira
Passo 4
(c) Calculando a integral
- Integramos primeiro em
, tratando como constante:
- Agora a integral em
:
- Substituição
, então ou .
Quando, ; quando , .