Dada a integral dupla a seguir:
integral0^1 integral2 x^2 e^-y^2 d y d x
(a) (1 , 0) Esboce a região de integração.
(b) (1,0) Interprete a região de integração como sendo do Tipo II.
(c) (0,5) Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a integral dupla
integral0^1!integral2x^2 e^-y^2,dy,dx
Matéria: integrais duplas e troca de ordem de integração.
O que precisamos:
  1. Desenhar a região de integração no plano (x,y).
  2. Reescrever essa mesma região como Tipo II (ou seja, integrar primeiro em x e depois em y).
  3. Calcular a integral trocando a ordem e usando uma substituição simples.

Passo 2

(a) Esboçando a região
– As desigualdades são 0<= x<=1 e 2x<= y<=2.
– A reta y=2x passa pela origem e chega a (1,2).
– A reta y=2 é horizontal.
– Em x=0, y vai de 0 a 2, gerando o vértice (0,0) e (0,2).
Assim a região é o triângulo com vértices (0,0), (1,2) e (0,2).

Passo 3

(b) Descrevendo como região do Tipo II
Para cada valor de y entre 0 e 2, x varia desde a reta x=0 até a reta obtida de y=2x, ou seja, x=y/2.
Logo a ordem invertida é
0 <= y <= 2, 0 <= x <= y2
e a integral vira
integraly=0^2!integralx=0^y/2 e^-y^2,dx,dy

Passo 4

(c) Calculando a integral
  1. Integramos primeiro em x, tratando e^-y^2 como constante:
integral0^y/2 e^-y^2,dx = e^-y^2,l[xr]0^y/2 = e^-y^2,y2
  1. Agora a integral em y:
integral0^2 y2,e^-y^2,dy = 12 integral0^2 y,e^-y^2,dy
  1. Substituição u = y^2, então du = 2y,dy ou y,dy = tfrac12,du.
    Quando y=0, u=0; quando y=2, u=4.
12 integral0^2 y,e^-y^2,dy = 12 integralu=0^4 e^-u,du2 = 14integral0^4 e^-u,du = 14l[-e^-ur]0^4 = 14l(1 - e^-4r)

Resposta

boxed14,l(1 - e^-4r)

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