Sejam p(t) e q(t) funções contínuas em um intervalo aberto I e suponha que y1 e y2 são duas soluções da equação homogênea y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0 em I.
(a) Se existir t0 in I tal que y1(t0)=y2(t0)=0,y1, y2 pode formar um conjunto fundamental de soluções da equação? Explique.
(b) Se y1 e y2 tem extremos relativos (máximo ou mínimo) em um ponto t0 in I,y1, y2 pode formar um conjunto fundamental de soluções da equação? Explique.

Passo 1

O enunciado trata da equação homogênea de segunda ordem
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
em um intervalo aberto I, onde p e q são contínuas. Temos duas soluções y1 e y2 e queremos saber se elas formam um conjunto fundamental, ou seja, se são linearmente independentes em I.

Passo 2

Duas soluções formam um conjunto fundamental se, e somente se, o wronskiano delas
W(t) ;=; y1(t),y2'(t) ;-; y1'(t),y2(t)
é não nulo em algum ponto de I. Pelo teorema de Abel, o wronskiano satisfaz
W(t) ;=; W(t0) ,exp!l(-integralt0^tp(s),dsr),
logo, se W(t0)=0 em algum t0in I, então W(t)equiv0 em todo I e as soluções são linearmente dependentes.

Passo 3

(a) Se existir t0 tal que y1(t0)=y2(t0)=0, então
W(t0) = y1(t0),y2'(t0) - y1'(t0),y2(t0) = 0cdot y2'(t0) - y1'(t0)cdot0 = 0
Pelo teorema de Abel, W(t)equiv0 em I, ou seja, y1 e y2 são linearmente dependentes e não formam conjunto fundamental.

Passo 4

(b) Se ambas as soluções têm extremo relativo em t0, temos
y1'(t0)=0 e y2'(t0)=0
Então
W(t0) = y1(t0)cdot0 - 0cdot y2(t0) = 0,
e novamente, pelo teorema de Abel, W(t)equiv0 em I. Logo, y1 e y2 são linearmente dependentes e não formam conjunto fundamental.

Resposta

(a) Não.
(b) Não.

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