Sejam
e
funções contínuas em um intervalo aberto
e suponha que
e
são duas soluções da equação homogênea
em
.
(a) Se existir
tal que
pode formar um conjunto fundamental de soluções da equação? Explique.
(b) Se
e
tem extremos relativos (máximo ou mínimo) em um ponto
pode formar um conjunto fundamental de soluções da equação? Explique.
(a) Se existir
(b) Se
Passo 1
O enunciado trata da equação homogênea de segunda ordem
em um intervalo aberto
, onde
e
são contínuas. Temos duas soluções
e
e queremos saber se elas formam um conjunto fundamental, ou seja, se são linearmente independentes em
.
Passo 2
Duas soluções formam um conjunto fundamental se, e somente se, o wronskiano delas
é não nulo em algum ponto de
. Pelo teorema de Abel, o wronskiano satisfaz
logo, se
em algum
, então
em todo
e as soluções são linearmente dependentes.
Passo 3
(a) Se existir
tal que
, então
Pelo teorema de Abel,
em
, ou seja,
e
são linearmente dependentes e não formam conjunto fundamental.
Passo 4
(b) Se ambas as soluções têm extremo relativo em
, temos
Então
e novamente, pelo teorema de Abel,
em
. Logo,
e
são linearmente dependentes e não formam conjunto fundamental.
Resposta
(a) Não.
(b) Não.
(b) Não.