Faça o esboço da região delimitada pelas curvas:
e
. Calcule sua área, usando integral dupla.
Passo 1
Beleza, o exercício manda a gente esboçar a região limitada pelas curvas
e depois calcular a área usando integral dupla.
Conteúdo: é um problema de cálculo de área via integrais duplas e interpretação de curvas como fronteiras.
O que precisamos:
Conteúdo: é um problema de cálculo de área via integrais duplas e interpretação de curvas como fronteiras.
O que precisamos:
- Entender cada equação e como elas formam as bordas;
- Determinar o domínio
em coordenadas ; - Montar a integral dupla
(pois dá a área); - Calcular a integral iterada aplicando Teorema de Fubini.
Passo 2
Vamos decifrar as curvas:
-
⇒ parábola voltada para a esquerda. Reescrevendo:
-
⇒ reta inclinada, reescrevendo:
- As retas horizontais
(fundo) e (topo).
Pra ver onde a parábola e a reta se cruzam, igualamos
O discriminante é
, sem solução real.
Isso significa que, para todo , a reta está sempre de um lado da parábola.
Só precisamos checar se para entre
e
a parábola fica à esquerda da reta:
Isso significa que, para todo
Só precisamos checar se para
e
é sempre positivo. Então, de fato,
o domínio é
o domínio é
Passo 3
Pela definição, a área de
é
Usando Fubini (integral iterada em
depois
), montamos:
Aqui a integral interna
nos dá a largura em
para cada
.
Passo 4
Calculemos:
- Integral interna em
:
- Integral externa em
:
Separamos term a term:
Logo uma primitiva é
. Avaliando de
a
:
Em
:
Em
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região dada é
.