(2,5) Faça o esboço da região delimitada pelas curvas: y^2=-x, x-y=4, y=-1 e y=2. Calcule sua área, usando integral dupla.

Passo 1

Beleza, o exercício manda a gente esboçar a região limitada pelas curvas
y^2 = -x, x - y = 4, y = -1, y = 2
e depois calcular a área usando integral dupla.
Conteúdo: é um problema de cálculo de área via integrais duplas e interpretação de curvas como fronteiras.
O que precisamos:
  1. Entender cada equação e como elas formam as bordas;
  2. Determinar o domínio D em coordenadas (x,y);
  3. Montar a integral dupla integral duplaD 1,dA (pois integral duplaD 1 dá a área);
  4. Calcular a integral iterada aplicando Teorema de Fubini.

Passo 2

Vamos decifrar as curvas:
  1. y^2 = -x ⇒ parábola voltada para a esquerda. Reescrevendo:
x = -,y^2
  1. x - y = 4 ⇒ reta inclinada, reescrevendo:
x = 4 + y
  1. As retas horizontais y = -1 (fundo) e y = 2 (topo).
Pra ver onde a parábola e a reta se cruzam, igualamos
-,y^2 = 4 + y ;Longrightarrow; -y^2 - y - 4 = 0
O discriminante é De<a = 1 - 4cdot1cdot4 = -15<0, sem solução real.
Isso significa que, para todo y, a reta está sempre de um lado da parábola.
Só precisamos checar se para y entre -1 e 2 a parábola fica à esquerda da reta:
-,y^2 ;<=;4 + y Long<=ftrightarrow y^2 + y +4 >= 0,
e y^2+y+4 é sempre positivo. Então, de fato,
o domínio é
D = l(x,y)mid -1<= y<=2,;; -y^2 <= x <= 4+y r

Passo 3

Pela definição, a área de D é
A ;=; integral duplaD 1,dA
Usando Fubini (integral iterada em x depois y), montamos:
A = integraly=-1^2 l[;integralx=-y^2^,4+y 1,dxr],dy
Aqui a integral interna integral 1,dx nos dá a largura em x para cada y.

Passo 4

Calculemos:
  1. Integral interna em x:
integralx=-y^2^4+y 1,dx = l[(4+y)-(-y^2)r] = 4 + y + y^2
  1. Integral externa em y:
A = integral-1^2 (4 + y + y^2),dy
Separamos term a term:
integral 4,dy = 4y, integral y,dy = tfracy^22, integral y^2,dy = tfracy^33
Logo uma primitiva é 4y + tfracy^22 + tfracy^33. Avaliando de -1 a 2:
Em y=2:
4cdot2 + tfrac2^22 + tfrac2^33 = 8 + 2 + tfrac83 = 10 + tfrac83 = tfrac383
Em y=-1:
4cdot(-1) + tfrac(-1)^22 + tfrac(-1)^33 = -4 + tfrac12 - tfrac13 = -4 + tfrac16 = -tfrac236
Subtraindo:
A = tfrac383 - l(-tfrac236r) = tfrac766 + tfrac236 = tfrac996 = tfrac332

Resposta

A área da região dada é 332.

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