\sum_{q=1}^{\infty} \frac{2^{3 q+1}}{q^{q}} CONUERGE?

Passo 1

O enunciado pergunta se a série
\sum_{q=1}^{\infty} \frac{2^{3q+1}}{q^{q}}
converge. O conteúdo necessário é o teste da raiz (ou de Cauchy) para séries de termos positivos, que compara
\displaystyle \limsup_{q\to\infty}\sqrt[q]{a_q} com 1.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_q = \frac{2^{3q+1}}{q^{q}}
e reescrevemos
a_q = 2\;\frac{(2^3)^q}{q^q} = 2\,\frac{8^q}{q^q}.

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz, calculando
\lim_{q\to\infty}\sqrt[q]{a_q} =\lim_{q\to\infty}\sqrt[q]{2}\,\frac{8}{q} =\;1\;\times\lim_{q\to\infty}\frac{8}{q} =\;0.

Passo 4

Como o limite do teste da raiz é 0<1, a série converge absolutamente. Pelo critério de convergência absoluta, ela converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{q=1}^{\infty}\frac{2^{3q+1}}{q^{q}} converge.

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