Dada a integral:
determine o valor aproximado da integral
pela quadratura de Gauss-Legendre. Empregue uma transformação de coordenadas linear e 4 pontos de integração. Estime o erro obtido nesta integração. Para facilitar, a derivada de 8 á ordem de
é:
Passo 1
Vamos aproximar
usando quadratura de Gauss-Legendre de 4 pontos. O conteúdo é mudança de variável linear para mapear
em
e aplicação da fórmula
. Também vamos usar a expressão da 8ª derivada para estimar o erro.
Passo 2
Transformamos a integral para
com
, de modo que
. Fica
Passo 3
Os nós
e pesos
para 4 pontos são
Passo 4
Mapeamos para
com
e avaliamos
:
Passo 5
A quadratura dá
Passo 6
Para o erro usamos a fórmula do resíduo em n pontos:
Resposta
I\approx0.3864,\quad erro\ estimado\le7.3\times10^{-4}