Dada a integral:
integral0^1 ln (1+x) d x
determine o valor aproximado da integral I pela quadratura de Gauss-Legendre. Empregue uma transformação de coordenadas linear e 4 pontos de integração. Estime o erro obtido nesta integração. Para facilitar, a derivada de 8 á ordem de ln (1+x) é:
d^8d x^8 ln (1+x)=-5040(x+1)^8

Passo 1

Vamos aproximar I=integral0^1ln(1+x),dx usando quadratura de Gauss-Legendre de 4 pontos. O conteúdo é mudança de variável linear para mapear [0,1] em [-1,1] e aplicação da fórmula integral-1^1f(t),dtapproxsumi=1^4wi f(ti). Também vamos usar a expressão da 8ª derivada para estimar o erro.

Passo 2

Transformamos a integral para [-1,1] com x=tfrac1+t2, de modo que dx=tfrac12,dt. Fica
I=integral0^1ln(1+x),dx=12integral-1^1lnl(1+tfrac1+t2r),dt

Passo 3

Os nós ti e pesos wi para 4 pontos são
t1,4=pm0.8611363116, t2,3=pm0.3399810436, w1,4=0.3478548451, w2,3=0.6521451549

Passo 4

Mapeamos para [0,1] com xi=(1+ti)/2 e avaliamos f(x)=ln(1+x):
x1=0.9305682,;f1=ln(1.9305682)approx0.65763; x4=0.0694318,;f4approx0.06703; x2=0.6699905,;f2=ln(1.6699905)approx0.51243; x3=0.3300095,;f3approx0.28518

Passo 5

A quadratura dá
Iapprox12sumi=1^4wi fi=0.3864(aprox)

Passo 6

Para o erro usamos a fórmula do resíduo em n pontos:
|R4|<= M,(b-a)^2n+1,2^2n(n!)^4(2n+1)[(2n)!]^3, com n=4, b-a=1 e M=maxxin[0,1]|f^(8)(x)|=5040. Substituindo,
|R4|<=sssim5040times1^9times2^824^49,(8!)^3approx7.3times10^-4

Resposta

I\approx0.3864,\quad erro\ estimado\le7.3\times10^{-4}

Exercícios relacionados