Obteve-se a solução da distribuição de temperatura em uma barra de comprimento igual a 1 pelo MEF através de uma malha de um único elemento linear, cujos resultados nodais foram: U1=0,00^circ C e U2=152^circ C. Sendo a solução exata:
u(x)=152e-1(e^x-1)[ ^circ C]
determine o erro da solução pelo MEF na norma da energia. Integre por meio da quadratura de Gauss-Legendre com 2 pontos de integração e estime o erro obtido nesta integração.

Passo 1

Temos uma barra unidimensional de comprimento 1 com condições de contorno u(0)=0 e u(1)approx152, obtida pelo MEF com um único elemento linear. A solução aproximada é uh(x) linear, e a solução exata é u(x)=152e-1l(e^x-1r) Vamos calcular o erro e(x)=u(x)-uh(x) na norma de energia (semi-norma de Sobolev H^1).

Passo 2

A norma de energia é dada por |e|E=raizintegral0^1kl(e'(x)r)^2,dx, sendo e'(x)=u'(x)-uh'(x). Aqui assumimos condutividade k=1.

Passo 3

Derivamos as funções: da exata u'(x)=152e-1e^x e da aproximada, que é linear em [0,1], temos uh'(x)=U2-U11-0=152-01=152

Passo 4

Logo o integrando do erro é l(u'(x)-uh'(x)r)^2=l(152e-1e^x-152r)^2 Assim o erro na norma de energia vale |e|E=raizintegral0^1l(152e-1e^x-152r)^2dx

Passo 5

Para avaliar essa integral usamos quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos no intervalo [0,1]. No padrão [-1,1] os pontos são xi=pm1/raiz3 com pesos w=1. O mapeamento é x=(1+xi)/2, com dx=tfrac12dxi.

Passo 6

Os pontos e valores:
f(x1)approx1819.9, f(x2)approx1821.3
Calculamos

Numericamente achamos

Passo 7

A fórmula de 2 pontos dá
Iapprox12l(f(x1)+f(x2)r)=12(1819.9+1821.3)approx1820.6
Então
|e|Eapproxraiz1820.6approx42.7,^circC

Passo 8

Para estimar o erro da integração com 2 pontos, calculamos o valor exato da integral:
Iexato=integral0^1l(tfrac152e-1e^x-152r)^2dxapprox1891.6
A diferença é De, o que na norma de energia corresponde a
l|raiz1891.6-raiz1820.6r|approx0.8

Passo 9

Portanto, usando quadratura de Gauss-Legendre com 2 pontos obtivemos |e|Eapprox42.7 e a própria integração introduz um erro estimado em 0.8 unidades de norma.

Resposta

Erro na norma de energia: |e|Eapprox42.7,^circC; erro da quadratura (2 pontos) estimado em 0.8, unidades de norma.

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