Obteve-se a solução da distribuição de temperatura em uma barra de comprimento igual a 1 pelo MEF através de uma malha de um único elemento linear, cujos resultados nodais foram: e . Sendo a solução exata:
determine o erro da solução pelo MEF na norma da energia. Integre por meio da quadratura de Gauss-Legendre com 2 pontos de integração e estime o erro obtido nesta integração.
Passo 1
Temos uma barra unidimensional de comprimento 1 com condições de contorno e , obtida pelo MEF com um único elemento linear. A solução aproximada é linear, e a solução exata é Vamos calcular o erro na norma de energia (semi-norma de Sobolev ).
Passo 2
A norma de energia é dada por sendo . Aqui assumimos condutividade .
Passo 3
Derivamos as funções: da exata e da aproximada, que é linear em , temos
Passo 4
Logo o integrando do erro é Assim o erro na norma de energia vale
Passo 5
Para avaliar essa integral usamos quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos no intervalo . No padrão os pontos são com pesos . O mapeamento é , com .
Passo 6
Os pontos e valores:
Calculamos
Numericamente achamos
Passo 7
A fórmula de 2 pontos dá
Então
Passo 8
Para estimar o erro da integração com 2 pontos, calculamos o valor exato da integral:
A diferença é , o que na norma de energia corresponde a
Passo 9
Portanto, usando quadratura de Gauss-Legendre com 2 pontos obtivemos |e|Eapprox42.7 e a própria integração introduz um erro estimado em 0.8 unidades de norma.
Resposta
Erro na norma de energia: |e|Eapprox42.7,^circC; erro da quadratura (2 pontos) estimado em 0.8, unidades de norma.