2- Seja a curva C com a parametrização dada, para t e m R. Ache os pontos de Cem que o coeficiente angular da tangente é m.
x=-t^3, y=-6 t^2-18 t ; m=2 (exercício 13.2-9 livro: swokowski)

Passo 1

O enunciado é sobre uma curva parametrizada por x=-t^3 e y=-6t^2-18t e queremos achar os pontos em que o coeficiente angular da tangente ( dy/dx) vale m=2. Vamos usar derivadas de funções paramétricas para isso.

Passo 2

Calcule as derivadas em relação a t:
dxdt = -3t^2,
dydt = -12t - 18 = -6(2t+3)

Passo 3

Use a fórmula da derivada implícita em parametrização:
dydx = dydtdxdt = -6(2t+3)-3t^2 = 2(2t+3)t^2

Passo 4

Imponha dy/dx = m = 2 e resolva para t:
2(2t+3)t^2 = 2 Rightarrow 2t+3t^2 = 1 Rightarrow t^2 - 2t -3 = 0
A equação quadrática dá t=3 ou t=-1.

Passo 5

Substitua esses valores em x=-t^3 e y=-6t^2-18t:
Para t=3: x=-27, y=-108.
Para t=-1: x=1, y=12.
Então são esses os pontos desejados.

Resposta

Os pontos onde o coeficiente angular da tangente é 2 são (-27, -108) e (1, 12).

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