Nos exercícios 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.
r=3-2 cos theta

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva dada em coordenadas polares r = 3 - 2costheta. O conteúdo aqui é a fórmula de área em coordenadas polares, que exige integrar r^2.

Passo 2

Precisamos entender por quais valores de theta a curva se fecha. Note que r = 3 - 2costheta = 0 implica costheta = 3/2, sem solução real. Logo, r é sempre positivo e a curva é completada quando theta vai de 0 a 2pi.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de área em coordenadas polares:
A = 12 integral0^2pi r^2 ,dtheta = 12 integral0^2pi (3 - 2costheta)^2 ,dtheta

Passo 4

Expandimos o quadrado dentro da integral para facilitar o cálculo:
(3 - 2costheta)^2 = 9 - 12costheta + 4cos^2theta

Passo 5

Separamos em três integrais:
integral0^2pi9,dtheta = 18pi, integral0^2pi(-12costheta),dtheta = -12cdot0 = 0, integral0^2pi4cos^2theta,dtheta = 4cdotpi = 4pi

Passo 6

Somando os resultados dentro do colchete da área:
integral0^2pi(3 - 2costheta)^2 dtheta = 18pi + 0 + 4pi = 22pi
E multiplicando por tfrac12 temos a área final.

Resposta

11pi

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