Estudar a continuidade em R das seguintes funções :
f5(x)=sin x sin 1x se x neq 0, e f5(0)=0

Passo 1

O enunciado define a função f5:RtoR por f5(x)=sin x,sintfrac1x se xneq0 e f5(0)=0. O conteúdo é continuidade de funções reais e vamos precisar usar a definição de limite e as propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Para xneq0, temos que sin x e sintfrac1x são contínuas, e o produto de funções contínuas também é contínuo. Logo f5(x)=sin x,sintfrac1x é contínua para todo xneq0.

Passo 3

Para x=0, verificamos o limite limxto0sin x,sintfrac1x. Como |sintfrac1x|<=1, segue
|sin x,sintfrac1x|<=|sin x|<=|x|,
e limxto0|x|=0, logo limxto0f5(x)=0=f5(0). Isso mostra continuidade em zero.

Resposta

A função f5 é contínua em todo R.

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