Dada a integral:
.
Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral dada.
Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
que é o integral de
sobre a bola de raio
centrada na origem. Para aproveitar a simetria, vamos usar coordenadas esféricas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com
,
e
. O jacobiano dessa transformação é
Além disso,
.
Passo 3
Os limites na esfera de raio
são
Substituindo tudo na integral, obtemos
Passo 4
Podemos separar a integral em produto de três integrais:
Passo 5
Calculando cada parte:
Multiplicando: