Dada a integral: integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x.
Use coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral dada.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral-1^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2raizx^2+y^2+z^2;dz;dy;dx,
que é o integral de raizx^2+y^2+z^2 sobre a bola de raio 1 centrada na origem. Para aproveitar a simetria, vamos usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
com rho>=0, phiin[0,pi] e thetain[0,2pi]. O jacobiano dessa transformação é
dV = rho^2sinphi;drho;dphi;dtheta
Além disso, raizx^2+y^2+z^2 = rho.

Passo 3

Os limites na esfera de raio 1 são
0 <= rho <= 1, 0 <= phi <= pi, 0 <= theta <= 2pi
Substituindo tudo na integral, obtemos
integral0^2piintegral0^piintegral0^1 rho ,l(rho^2sinphir);drho;dphi;dtheta = integral0^2piintegral0^piintegral0^1 rho^3sinphi;drho;dphi;dtheta

Passo 4

Podemos separar a integral em produto de três integrais:
integral0^2pidtheta;times; integral0^pisinphi;dphi;times; integral0^1rho^3;drho

Passo 5

Calculando cada parte:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pisinphi;dphi = 2, integral0^1rho^3;drho = 14
Multiplicando:
2pi times 2 times 14 = pi

Resposta

pi

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