Resolva os problemas de valor inicial:
y^prime+3 t^2 y=e^-t^2+t ; y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial: y' + 3t^2y = e^-t^2 + t,;y(0)=2. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, do tipo y' + p(t)y = g(t). Vamos usar o fator integrante para solucioná-la.

Passo 2

Identificamos p(t)=3t^2. O fator integrante mu(t) é dado por expl(integral p(t),dtr). Então
mu(t)=expl(integral 3t^2,dtr)=exp(t^3)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t)=e^t^3. O lado esquerdo vira derivada de um produto:
ddtl(y,e^t^3r)=e^t^3l(y'+3t^2yr)=e^t^3,e^-t^2+t=e^t^3 -t^2 +t

Passo 4

Agora integramos ambos os lados de 0 a t. No lado esquerdo
integral0^tddsl(y(s)e^s^3r)ds=y(t)e^t^3-y(0)e^0=y(t)e^t^3-2

Passo 5

No lado direito temos
integral0^t e^s^3 -s^2 +sds

Passo 6

Igualando e resolvendo para y(t), obtemos
y(t)e^t^3-2=integral0^t e^s^3 -s^2 +sdsLongrightarrow y(t)=e^-t^3l(2+integral0^t e^s^3 -s^2 +sdsr)

Resposta

\displaystyle y(t)=e{-t3}\Bigl(2+\int_0^t e{s3 -s^2 +s},ds\Bigr)

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