Dada a integral:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x
Reescreva a integral, convertendo para coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral tripla
integral-1^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2raizx^2+y^2+z^2;dz;dy;dx
sobre o sólido x^2+y^2+z^2<=1. Vamos reescrever essa integral em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), onde
x = rcostheta, y = rsintheta

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, a projeção do sólido no plano xy é o disco r<=1. Assim
0<= r<=1, 0<= theta<=2pi,
e para cada (r,theta) o z varia entre as raízes de r^2+z^2=1, ou seja
-raiz1-r^2<= z<=raiz1-r^2

Passo 3

O integrando raizx^2+y^2+z^2 fica em cilíndricas
raizr^2+z^2

Passo 4

O elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é
dV = r;dz;dr;dtheta

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, obtemos
integral0^2pi integral0^1 integral-raiz1-r^2^raiz1-r^2 raizr^2+z^2;r;dz;dr;dtheta

Resposta

integral0^2pi integral0^1 integral-raiz1-r^2^raiz1-r^2 raizr^2+z^2;r;dz;dr;dtheta

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