Dada a integral:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x
Reescreva a integral, convertendo para coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma integral tripla em coordenadas cartesianas e quer reescrevê-la usando coordenadas esféricas. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo multivariável, especificamente mudanças de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (r, θ, φ) e ajustar os limites de integração e o elemento de volume adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como ficam as coordenadas esféricas:
  • r é a distância do ponto até a origem.
  • θ (theta) é o ângulo polar, medindo a inclinação do ponto em relação ao eixo z.
  • φ (phi) é o ângulo azimutal, medindo a rotação do ponto no plano xy a partir do eixo x.
As relações de conversão são:
x = r sintheta cosphi y = r sintheta sinphi z = r costheta

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função que estamos integrando: raizx^2 + y^2 + z^2. Em coordenadas esféricas, isso fica bem mais simples, porque:
raizx^2 + y^2 + z^2 = raizr^2 = r
Então, nossa função integrada passa a ser apenas r .

Passo 4

O próximo passo é entender o elemento de volume. Em coordenadas cartesianas, temos dz , dy , dx . Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Isso porque a transformação de coordenadas envolve essa multiplicador r^2 sintheta para ajustar a “escala” do volume.

Passo 5

Agora, vamos ajustar os limites de integração. Originalmente, a integral vai de x = -1 a x = 1 , e para cada x, y varia de -raiz1 - x^2 a raiz1 - x^2 , e z varia de -raiz1 - x^2 - y^2 a raiz1 - x^2 - y^2 . Isso descreve uma esfera de raio 1 centrada na origem.
Em coordenadas esféricas, isso significa:
  • r vai de 0 a 1 (raio da esfera).
  • theta vai de 0 a pi (cobrindo todos os ângulos do polo ao polo oposto).
  • phi vai de 0 a 2pi (rotacionando completamente em torno do eixo z).

Passo 6

Agora, juntando tudo, a integral original em coordenadas cartesianas se transforma em coordenadas esféricas da seguinte maneira:
integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Simplificando a expressão, ficamos com:
integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^3 sintheta , dr , dtheta , dphi

Resposta

A integral reescrita em coordenadas esféricas é:
integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^3 sintheta , dr , dtheta , dphi

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