Dada a integral:
Reescreva a integral, convertendo para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma integral tripla em coordenadas cartesianas e quer reescrevê-la usando coordenadas esféricas. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo multivariável, especificamente mudanças de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (r, θ, φ) e ajustar os limites de integração e o elemento de volume adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como ficam as coordenadas esféricas:
- r é a distância do ponto até a origem.
- θ (theta) é o ângulo polar, medindo a inclinação do ponto em relação ao eixo z.
- φ (phi) é o ângulo azimutal, medindo a rotação do ponto no plano xy a partir do eixo x.
As relações de conversão são:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que estamos integrando:
. Em coordenadas esféricas, isso fica bem mais simples, porque:
Então, nossa função integrada passa a ser apenas
.
Passo 4
O próximo passo é entender o elemento de volume. Em coordenadas cartesianas, temos
. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:
Isso porque a transformação de coordenadas envolve essa multiplicador
para ajustar a “escala” do volume.
Passo 5
Agora, vamos ajustar os limites de integração. Originalmente, a integral vai de
a
, e para cada x, y varia de
a
, e z varia de
a
. Isso descreve uma esfera de raio 1 centrada na origem.
Em coordenadas esféricas, isso significa:
-
vai de 0 a 1 (raio da esfera). -
vai de 0 a (cobrindo todos os ângulos do polo ao polo oposto). -
vai de 0 a (rotacionando completamente em torno do eixo z).
Passo 6
Agora, juntando tudo, a integral original em coordenadas cartesianas se transforma em coordenadas esféricas da seguinte maneira:
Simplificando a expressão, ficamos com:
Resposta
A integral reescrita em coordenadas esféricas é: