Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pela esfera x^2+y^2+z^2=z.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cone
z = raizx^2+y^2
e pela esfera
x^2+y^2+z^2 = z
O conteúdo aqui é usar coordenadas esféricas, em que
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
e o elemento de volume é dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 2

Vamos reescrever as superfícies em esféricas. Para o cone z = raizx^2+y^2 temos
rhocosphi = rhosinphi Longrightarrow tanphi = 1 Longrightarrow phi = tfracpi4
Para a esfera x^2+y^2+z^2 = z vem
rho^2 = rhocosphi Longrightarrow rho = cosphi(rho>=0)

Passo 3

O sólido é a região dentro da esfera e “acima” do cone, isto é
0 <= theta <= 2pi, 0 <= phi <= tfracpi4, 0 <= rho <= cosphi
Logo o volume é
V = integral0^2pi!integral0^pi/4!integral0^cosphi rho^2sinphi, drho,dphi,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em rho:
integral0^cosphirho^2,drho = l(cosphir)^33
Então
V = integral0^2pi!integral0^pi/4 cos^3phi3,sinphi, dphi,dtheta = 2pi3 integral0^pi/4cos^3phi,sinphi,dphi

Passo 5

Para a integral em phi use u=cosphi, du=-sinphi,dphi. Quando phi=0, u=1, e quando phi=pi/4, u=1/raiz2. Assim
integral0^pi/4cos^3phi,sinphi,dphi = integralu=1^1/raiz2u^3(-du) = integral1/raiz2^1u^3,du = l[tfracu^44r]1/raiz2^1 = 14-116 = 316
Logo
V = 2pi3cdot316 = pi8

Resposta

V = pi8

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