Dada integral0^4 integralraizy^2 y cos x^5 d x d y, inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla integral0^4integralraizy^2ycos x^5,dx,dy e depois calcular o valor numérico. O conteúdo envolve aprendizado de como descrever a região de integração em termos de x e y, trocar a ordem e aplicar técnicas de integração (integrar em y e usar substituição para integrar em x).

Passo 2

Vamos identificar a região D em que estamos integrando: temos 0<= y<=4 e para cada y, x varia de x=raizy até x=2. Isso é equivalente a dizer que x varia de 0 a 2 e para cada x, y vai de 0 a x^2. Assim, a integral com ordem invertida fica
integral0^2integral0^x^2ycos x^5,dy,dx

Passo 3

Agora, dentro dessa integral x é tratado como constante quando integrarmos em y. Então fazemos
integral0^x^2ycos x^5,dy =cos x^5integral0^x^2y,dy =cos x^5[y^22]0^x^2 =x^42cos x^5

Passo 4

Substituindo isso na integral externa, obtemos
integral0^2x^42cos x^5,dx =12integral0^2x^4cos x^5,dx
Para resolver essa integral em x, usamos a substituição u=x^5, o que implica du=5x^4,dx ou x^4,dx=tfracdu5.

Passo 5

Fazendo a substituição na integral:
[
\frac{1}{2}\int_{0}{2}x4\cos x^{5},dx
=\frac{1}{2}\int_{u=0}{u=25}\cos u\cdot\frac{du}{5}
=\frac{1}{10}\int_{0}^{32}\cos u,du
=\frac{1}{10}\bigl[\sin u\bigr]_{0}^{32}
=\frac{1}{10}(\sin 32-\sin 0)
=\frac{\sin 32}{10}.

Resposta

sin 3210

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