Dada
, inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
e depois calcular o valor numérico. O conteúdo envolve aprendizado de como descrever a região de integração em termos de
e
, trocar a ordem e aplicar técnicas de integração (integrar em
e usar substituição para integrar em
).
Passo 2
Vamos identificar a região
em que estamos integrando: temos
e para cada
,
varia de
até
. Isso é equivalente a dizer que
varia de
a
e para cada
,
vai de
a
. Assim, a integral com ordem invertida fica
Passo 3
Agora, dentro dessa integral
é tratado como constante quando integrarmos em
. Então fazemos
Passo 4
Substituindo isso na integral externa, obtemos
Para resolver essa integral em
, usamos a substituição
, o que implica
ou
.
Passo 5
Fazendo a substituição na integral:
[
\frac{1}{2}\int_{0}{2}x4\cos x^{5},dx
=\frac{1}{2}\int_{u=0}{u=25}\cos u\cdot\frac{du}{5}
=\frac{1}{10}\int_{0}^{32}\cos u,du
=\frac{1}{10}\bigl[\sin u\bigr]_{0}^{32}
=\frac{1}{10}(\sin 32-\sin 0)
=\frac{\sin 32}{10}.
\frac{1}{2}\int_{0}{2}x4\cos x^{5},dx
=\frac{1}{2}\int_{u=0}{u=25}\cos u\cdot\frac{du}{5}
=\frac{1}{10}\int_{0}^{32}\cos u,du
=\frac{1}{10}\bigl[\sin u\bigr]_{0}^{32}
=\frac{1}{10}(\sin 32-\sin 0)
=\frac{\sin 32}{10}.