Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de LHospital.
lim x 0^+ 1x^tg x

Passo 1

O problema pede calcular limxto0^+ 1x^tan x. Esse tipo de limite envolve potência com expoente dependente de x, o que costuma gerar indeterminação do tipo 1^infty. Vamos usar limites, regra de L’Hôpital e propriedades de logaritmo para resolver.

Passo 2

Para simplificar a potência, definimos y = 1x^tan x e aplicamos o logaritmo natural para “trazer” o expoente para frente. Assim obtemos
ln y = -l(tan xr),ln x

Passo 3

Queremos limxto0^+ln y = limxto0^+[-(tan x)ln x]. Para usar a regra de L’Hôpital, reescrevemos isso como um quociente:
-tan x,ln x = -ln xcot x
À medida que xto0^+, temos ln xto-infty e cot xto+infty, ou seja, fica na forma infty/infty.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital ao quociente -ln xcot x: derivada do numerador é -1/x e do denominador é -csc^2 x. Logo o limite vira
limxto0^+-1/x-csc^2 x = limxto0^+sin^2 xx

Passo 5

Para x muito pequeno usamos sin x approx x, então
sin^2 xx approx x^2x = x to 0
Portanto limxto0^+ln y = 0 e, como y = e^ln y, concluímos que
limxto0^+y = e^0 = 1

Resposta

1

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