Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de LHospital.
Passo 1
O problema pede calcular
. Esse tipo de limite envolve potência com expoente dependente de
, o que costuma gerar indeterminação do tipo
. Vamos usar limites, regra de L’Hôpital e propriedades de logaritmo para resolver.
Passo 2
Para simplificar a potência, definimos
e aplicamos o logaritmo natural para “trazer” o expoente para frente. Assim obtemos
Passo 3
Queremos
. Para usar a regra de L’Hôpital, reescrevemos isso como um quociente:
À medida que
, temos
e
, ou seja, fica na forma
.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital ao quociente
: derivada do numerador é
e do denominador é
. Logo o limite vira
Passo 5
Para
muito pequeno usamos
, então
Portanto
e, como
, concluímos que
Resposta
1