Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de LHospital.
lim x 0^+ ln (sen a x)ln (sen x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+ln(sin(a x))ln(sin x)
usando as regras de L’Hospital. Estamos lidando com um quociente de funções que tende a -infty-infty, portanto é apropriado aplicar L’Hospital.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação. Para xto0^+ temos sen(a x)sim a x e sen xsim x, logo
ln(sen(a x));to;ln(a x);to;-infty, ln(sen x);to;ln x;to;-infty
É indeterminação tfrac-infty-infty.

Passo 3

Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada de ln(sin(a x)) é
ddxln(sin(a x)) = acos(a x)sin(a x) = acot(a x),
e derivada de ln(sin x) é
ddxln(sin x) = cos xsin x = cot x

Passo 4

Pelo Teorema de L’Hospital,
limxto0^+ln(sin(a x))ln(sin x) =limxto0^+acot(a x)cot x = a;limxto0^+cot(a x)cot x
Para xto0, cot(y)sim1y, então
cot(a x)cot x sim1/(a x)1/x =xa x =1a
Logo o limite vale acdot1a=1.

Resposta

1

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