Dada f(x)=(x-a) cdotlfloor xrfloor, com a inteiro, mostre que f-^prime(a)+1=f+^prime(a).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = (x - a),lfloor xrfloor
onde a é inteiro, e pede para mostrar que
f-'(a) + 1 ;=; f+'(a)
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas laterais em ponto de descontinuidade de derivada, usando o fato de que lfloor xrfloor é constante em cada intervalo (n,n+1).

Passo 2

Para x<a suficientemente perto de a, temos lfloor xrfloor = a-1. Logo
f(x) = (x - a),(a-1)
Isto é uma função linear em x com coeficiente angular a-1. Assim
f-'(a) = a - 1

Passo 3

Para x>a suficientemente perto de a, temos lfloor xrfloor = a. Logo
f(x) = (x - a),a
Isto é outra função linear em x com coeficiente angular a. Assim
f+'(a) = a

Passo 4

Somando 1 à derivada pela esquerda:
f-'(a) + 1 = (a - 1) + 1 = a = f+'(a)

Resposta

f-'(a) + 1 = f+'(a)

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