Encontre uma equação para a reta que contém o ponto (-2,3) e é tangente à curva y=7-x^2.

Passo 1

O enunciado pede a reta que passe por (-2,3) e seja tangente à curva y=7-x^2. Para resolver, precisamos usar derivada para achar o coeficiente angular da tangente e depois impor que essa reta contenha o ponto dado.

Passo 2

Seja a a abscissa do ponto de tangência. Nesse ponto, as coordenadas são l(a,7-a^2r). Como
y=7-x^2
tem derivada
y'=-2x,
o coeficiente angular da reta tangente em x=a é
m=-2a

Passo 3

A equação da reta tangente no ponto l(a,7-a^2r) em forma ponto-inclinação é
y - l(7 - a^2r) = -2a,(x - a)

Passo 4

Para que essa reta passe por (-2,3), substituímos x=-2 e y=3:
3 - l(7 - a^2r) = -2a,(-2 - a)
Isso dá
3 - 7 + a^2 = 4a + 2a^2 Longrightarrow a^2 - 4 = 4a + 2a^2 Longrightarrow -a^2 - 4a - 4 = 0 Longrightarrow (a+2)^2 = 0 Longrightarrow a = -2

Passo 5

Com a=-2, o coeficiente angular é
m = -2(-2) = 4,
e o ponto de tangência é
l(-2,,7 - (-2)^2r) = (-2,3),
confirmando que coincide com o ponto dado. Assim a reta é
y - 3 = 4,(x + 2) Longrightarrow y = 4x + 11

Resposta

y = 4x + 11

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