Dada . Ache os valores de a e b, tais que lim x -2 f(x) e lim x 2 f(x) ambos existam.
32. Dada ll2 x-a & se x<-3 a x+2 b & se -3 <= x <= 3 b-5 x & se 3. Ache os valores de a e b, tais que existam os limites: lim x -3 f(x) e lim x 3 f(x).
Passo 1
Temos dois exercícios de funções definidas por partes (itens 31 e 32). O conteúdo principal é limites laterais e continuidade em pontos de mudança de definição. Para existir limxto cf(x), é preciso que limxto c^-f(x)=limxto c^+f(x). Vamos aplicar isso em cada ponto de interesse e obter sistemas para a e b.
Passo 2
Para o exercício 31, em x=-2 temos:
O limite à esquerda é limxto -2^-f(x)=(-2)^2=4.
O limite à direita é limxto -2^+f(x)=a(-2)+b=-2a+b.
Igualando os dois lados:
-2a + b = 4
Passo 3
Ainda no exercício 31, em x=2 temos:
O limite à esquerda é limxto 2^-f(x)=2a+b.
O limite à direita é limxto 2^+f(x)=2cdot2-6=-2.
Igualando os dois lados:
2a + b = -2
Resolvendo o sistema formado pelas duas equações, obtemos:
a = -tfrac32, b = 1
Passo 4
Para o exercício 32, em x=-3 temos:
O limite à esquerda é limxto -3^-f(x)=2(-3)-a=-6-a.
O limite à direita é limxto -3^+f(x)=a(-3)+2b=-3a+2b.
Igualando:
-6 - a = -3a + 2b
que simplifica para
a - b = 3
Passo 5
No exercício 32, em x=3 o limite à esquerda é limxto 3^-f(x)=3a+2b e o limite à direita é limxto 3^+f(x)=b-5cdot3=b-15.
Igualando:
3a + 2b = b - 15
que simplifica para
3a + b = -15
Resolvendo o sistema formado por a - b = 3 e 3a + b = -15 resulta em
a = -3, b = -6
Resposta
Exercício 31: a=-tfrac32 e b=1. Exercício 32: a=-3 e b=-6.