Determine se (2,3,-1),(-2,1,1),(2,0,1) forma uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores (2,3,-1), (-2,1,1) e (2,0,1) em R^3 e pede para verificar se eles formam uma base. Como dim(R^3)=3, basta checar se esses três vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Um modo rápido de testar independência em R^3 é montar a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e verificar se o determinante é diferente de zero. Se detneq0, os vetores são linearmente independentes e, por terem quantidade igual à dimensão, formam base.

Passo 3

Montamos a matriz usando os vetores como linhas e calculamos o determinante:
det 2 & 3 & -1 -2 & 1 & 1 2 & 0 & 1 =2cdot(1cdot1 - 1cdot0) -3cdot(-2cdot1 - 1cdot2) +(-1)cdot(-2cdot0 - 1cdot2)
Agora computamos cada parcela:
2cdot1 = 2, -3cdot(-2 - 2)= -3cdot(-4)=12, -1cdot(-0 -2)= -1cdot(-2)=2
Somando, obtemos
2 + 12 + 2 = 16 neq 0

Passo 4

Como o determinante é ,16neq0, os três vetores são linearmente independentes em R^3. Logo, pelo fato de serem três vetores num espaço de dimensão 3, eles também geram todo o espaço, formando uma base.

Resposta

Sim, (2,3,-1),(-2,1,1),(2,0,1) forma uma base de R^3.

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