Dada a Matriz abaixo utilize a técnica dos cofatores e calcule o determinante, e o cofator pedido: (3,0 pontos)
Det(A)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o determinante da matriz A usando a técnica dos cofatores. Para isso, precisamos entender o que é determinante e como a técnica dos cofatores funciona. O determinante é um número que dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. A técnica dos cofatores envolve expandir o determinante em uma soma de produtos de elementos da matriz por seus cofatores correspondentes.
Como A é uma matriz 4x4, calcular o determinante diretamente pode ser complicado. Por isso, vamos usar a expansão por cofatores em uma linha ou coluna que facilite nossos cálculos. Vamos escolher a terceira coluna, pois ela tem um elemento zero, o que simplifica a conta.
Passo 3
A terceira coluna de A é [0, 0, -3, 3]. Vamos usar a expansão dos cofatores ao longo dessa coluna. A fórmula para o determinante usando cofatores na terceira coluna é:
Det(A) = a13C13 + a23C23 + a33C33 + a43C43
Onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Vamos identificar os elementos e calcular seus cofatores:
a13 = 0 → como multiplicado por 0, esse termo será 0.
a23 = 0 → também será 0.
a33 = -3
a43 = 3
Então, o determinante fica:
Det(A) = (-3)C33 + 3C43
Passo 5
Agora, vamos calcular os cofatores C33 e C43 .
Para C33 , removemos a terceira linha e terceira coluna da matriz A :
M33 = 3 & 3 & 5 2 & 2 & -2 -2 & 10 & 2
O cofator é dado por:
C33 = (-1)^3+3 Det(M33) = Det(M33)
Para C43 , removemos a quarta linha e terceira coluna:
M43 = 3 & 3 & 5 2 & 2 & -2 4 & 1 & 0
E o cofator é:
C43 = (-1)^4+3 Det(M43) = -Det(M43)
Passo 6
Vamos calcular Det(M33) :
M33 = 3 & 3 & 5 2 & 2 & -2 -2 & 10 & 2
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, vamos optar pela regra de Sarrus: