Dada a Matriz abaixo utilize a técnica dos cofatores e calcule o determinante, e o cofator pedido: (3,0 pontos)
A=[cccc 3 & 3 & 0 & 5 2 & 2 & 0 & -2 4 & 1 & -3 & 0 -2 & 10 & 3 & 2 ]
Det(A)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o determinante da matriz A usando a técnica dos cofatores. Para isso, precisamos entender o que é determinante e como a técnica dos cofatores funciona. O determinante é um número que dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. A técnica dos cofatores envolve expandir o determinante em uma soma de produtos de elementos da matriz por seus cofatores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A :
A = 3 & 3 & 0 & 5 2 & 2 & 0 & -2 4 & 1 & -3 & 0 -2 & 10 & 3 & 2
Como A é uma matriz 4x4, calcular o determinante diretamente pode ser complicado. Por isso, vamos usar a expansão por cofatores em uma linha ou coluna que facilite nossos cálculos. Vamos escolher a terceira coluna, pois ela tem um elemento zero, o que simplifica a conta.

Passo 3

A terceira coluna de A é [0, 0, -3, 3]. Vamos usar a expansão dos cofatores ao longo dessa coluna. A fórmula para o determinante usando cofatores na terceira coluna é:
Det(A) = a13C13 + a23C23 + a33C33 + a43C43
Onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos identificar os elementos e calcular seus cofatores:
  • a13 = 0 → como multiplicado por 0, esse termo será 0.
  • a23 = 0 → também será 0.
  • a33 = -3
  • a43 = 3
Então, o determinante fica:
Det(A) = (-3)C33 + 3C43

Passo 5

Agora, vamos calcular os cofatores C33 e C43 .
Para C33 , removemos a terceira linha e terceira coluna da matriz A :
M33 = 3 & 3 & 5 2 & 2 & -2 -2 & 10 & 2
O cofator é dado por:
C33 = (-1)^3+3 Det(M33) = Det(M33)
Para C43 , removemos a quarta linha e terceira coluna:
M43 = 3 & 3 & 5 2 & 2 & -2 4 & 1 & 0
E o cofator é:
C43 = (-1)^4+3 Det(M43) = -Det(M43)

Passo 6

Vamos calcular Det(M33) :
M33 = 3 & 3 & 5 2 & 2 & -2 -2 & 10 & 2
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, vamos optar pela regra de Sarrus:
Det(M33) = 3(2 cdot 2 - (-2) cdot 10) - 3(2 cdot 2 - (-2) cdot (-2)) + 5(2 cdot 10 - 2 cdot (-2))
Calculando passo a passo:
= 3(4 + 20) - 3(4 - 4) + 5(20 + 4) = 3(24) - 3(0) + 5(24) = 72 + 0 + 120 = 192
Então, C33 = 192 .

Passo 7

Agora, vamos calcular Det(M43) :
M43 = 3 & 3 & 5 2 & 2 & -2 4 & 1 & 0
Usando a regra de Sarrus novamente:
Det(M43) = 3(2 cdot 0 - (-2) cdot 1) - 3(2 cdot 0 - (-2) cdot 4) + 5(2 cdot 1 - 2 cdot 4)
Calculando passo a passo:
= 3(0 + 2) - 3(0 + 8) + 5(2 - 8) = 3(2) - 3(8) + 5(-6) = 6 - 24 - 30 = -48
Então, C43 = -(-48) = 48 .

Passo 8

Agora, voltando à expressão do determinante:
Det(A) = (-3)(192) + 3(48) = -576 + 144 = -432

Resposta

O determinante da matriz A é -432.

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