Dada a Matriz abaixo utilize a técnica dos cofatores e calcule o determinante, e o cofator pedido: (3,0 pontos)
A=[cccc 3 & 3 & 0 & 5 2 & 2 & 0 & -2 4 & 1 & -3 & 0 -2 & 10 & 3 & 2 ]
C32
Dica: Para Calcular o cofator utilize Ci j=(-1)^i+j cdot Mi j

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz 4x4 e precisa calcular o determinante dela usando a técnica dos cofatores. Além disso, você também quer encontrar o cofator C32 . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de determinantes e cofatores. Vamos por partes para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, uma das maneiras é usar a técnica dos cofatores. Isso envolve escolher uma linha ou coluna e expandir o determinante em termos dos menores (menores cofatores) desses elementos.

Passo 4

Vamos começar calculando o determinante da matriz A . Primeiro, escolhemos uma linha ou coluna para expandir. Geralmente, é mais fácil escolher uma linha ou coluna com mais zeros para simplificar os cálculos. Olhando para a nossa matriz:
A = [cccc 3 & 3 & 0 & 5 2 & 2 & 0 & -2 4 & 1 & -3 & 0 -2 & 10 & 3 & 2 ]
Podemos notar que a terceira coluna tem um zero, então vamos expandir o determinante pela terceira coluna.

Passo 5

A fórmula para o determinante usando cofatores na terceira coluna é:
det(A) = a13 C13 + a23 C23 + a33 C33 + a43 C43
Onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.

Passo 6

Vamos preencher os valores:
  • a13 = 0
  • a23 = 0
  • a33 = -3
  • a43 = 3
Então, nosso cálculo fica:
det(A) = 0 cdot C13 + 0 cdot C23 + (-3) cdot C33 + 3 cdot C43
Os primeiros dois termos são zero, então simplificamos para:
det(A) = -3 cdot C33 + 3 cdot C43

Passo 7

Agora, vamos calcular os cofatores C33 e C43 . A fórmula para o cofator é:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
Onde Mij é o menor obtido removendo a linha i e a coluna j .

Passo 8

Vamos calcular C33 :
  • Removemos a terceira linha e a terceira coluna:
M33 = |ccc 3 & 3 & 5 2 & 2 & -2 -2 & 10 & 2 |
Calculando o menor M33 :
M33 = 3 cdot (2 cdot 2 - (-2) cdot 10) - 3 cdot (2 cdot 2 - (-2) cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 10 - 2 cdot (-2))
M33 = 3 cdot (4 + 20) - 3 cdot (4 - 4) + 5 cdot (20 + 4)
M33 = 3 cdot 24 - 3 cdot 0 + 5 cdot 24
M33 = 72 + 0 + 120 = 192
Então,
C33 = (-1)^3+3 cdot 192 = 1 cdot 192 = 192

Passo 9

Agora, vamos calcular C43 :
  • Removemos a quarta linha e a terceira coluna:
M43 = |ccc 3 & 3 & 5 2 & 2 & -2 4 & 1 & 0 |
Calculando o menor M43 :
M43 = 3 cdot (2 cdot 0 - (-2) cdot 1) - 3 cdot (2 cdot 0 - (-2) cdot 4) + 5 cdot (2 cdot 1 - 2 cdot 4)
M43 = 3 cdot (0 + 2) - 3 cdot (0 + 8) + 5 cdot (2 - 8)
M43 = 3 cdot 2 - 3 cdot 8 + 5 cdot (-6)
M43 = 6 - 24 - 30 = -48
Então,
C43 = (-1)^4+3 cdot (-48) = (-1)^7 cdot (-48) = -1 cdot (-48) = 48

Passo 10

Agora que temos os cofatores, voltamos ao cálculo do determinante:
det(A) = -3 cdot 192 + 3 cdot 48 = -576 + 144 = -432

Passo 11

Agora, vamos calcular o cofator C32 pedido no exercício. Usamos a mesma fórmula:
C32 = (-1)^3+2 cdot M32
Primeiro, calculamos o menor M32 removendo a terceira linha e a segunda coluna:
M32 = |ccc 3 & 0 & 5 2 & 0 & -2 -2 & 3 & 2 |
Calculando o menor M32 :
M32 = 3 cdot (0 cdot 2 - (-2) cdot 3) - 0 cdot (2 cdot 2 - (-2) cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 - 0 cdot (-2))
M32 = 3 cdot (0 + 6) - 0 cdot (4 - 4) + 5 cdot (6 - 0)
M32 = 3 cdot 6 - 0 cdot 0 + 5 cdot 6
M32 = 18 + 0 + 30 = 48
Então,
C32 = (-1)^5 cdot 48 = -1 cdot 48 = -48

Resposta

O determinante da matriz A é -432 e o cofator C32 é -48 .

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