Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que:
T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1), T(0,1,1)=(0,0,1).
Determine a matriz da transformação com respeito à base canônica de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear T: R^3 R^3 e queremos descobrir qual é a matriz dessa transformação na base canônica de R^3 . Pra resolver isso, vamos precisar entender como T age sobre os vetores da base canônica e usar isso pra montar a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os vetores da base canônica de R^3 . Eles são:
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
Nosso objetivo é encontrar T(e1) , T(e2) e T(e3) .

Passo 3

Agora, vamos usar as informações que a gente tem sobre T :
T(1,0,1) = (1,1,0) T(0,1,0) = (1,0,-1) T(0,1,1) = (0,0,1)
Precisamos expressar T(e1) , T(e2) e T(e3) usando esses dados.

Passo 4

Vamos escrever as equações:
  1. T(e1) + T(e3) = (1,1,0)
  2. T(e2) = (1,0,-1)
  3. T(e2) + T(e3) = (0,0,1)
Da equação 2, já sabemos que T(e2) = (1,0,-1) .

Passo 5

Agora, substituímos T(e2) na equação 3:
(1,0,-1) + T(e3) = (0,0,1)
Resolvendo para T(e3) :
T(e3) = (0,0,1) - (1,0,-1) = (-1,0,2)

Passo 6

Voltemos à equação 1:
T(e1) + (-1,0,2) = (1,1,0)
Resolvendo para T(e1) :
T(e1) = (1,1,0) - (-1,0,2) = (2,1,-2)

Resposta

A matriz da transformação T na base canônica de R^3 é:
2 & 1 & -1 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2

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