Utilizando a Regra de Cramer forneça a solução do sistema abaixo: (2,5 pontos)
c 4 x+5 y+0 z=2 11 x+y+2 z=3 x+5 y+2 z=1
Dica: A Regra de Cramer é dada por um conjunto de equações sendo expressa por:
xn=Det(An)Det(A)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. O que a gente tem aqui é um sistema com três equações e três incógnitas (x, y, z). A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes de matrizes para encontrar os valores dessas incógnitas. Então, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular o determinante dela e, em seguida, substituir as colunas por termos constantes para achar cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes A a partir das equações do sistema:
A = 4 & 5 & 0 11 & 1 & 2 1 & 5 & 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A , que é essencial para a Regra de Cramer. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Det(A) = 4(1 cdot 2 - 2 cdot 5) - 5(11 cdot 2 - 2 cdot 1) + 0(11 cdot 5 - 1 cdot 1)
Fazendo as contas:
Det(A) = 4(2 - 10) - 5(22 - 2) + 0(55 - 1) = 4(-8) - 5(20) + 0 = -32 - 100 + 0 = -132

Passo 4

Agora, vamos encontrar x usando a Regra de Cramer. Para isso, substituímos a coluna de x na matriz A pelos termos constantes do sistema. A nova matriz Ax fica assim:
Ax = 2 & 5 & 0 3 & 1 & 2 1 & 5 & 2
Calculando o determinante de Ax :
Det(Ax) = 2(1 cdot 2 - 2 cdot 5) - 5(3 cdot 2 - 2 cdot 1) + 0(3 cdot 5 - 1 cdot 1) = 2(2 - 10) - 5(6 - 2) + 0 = 2(-8) - 5(4) + 0 = -16 - 20 + 0 = -36
Então, x = Det(Ax)Det(A) = -36-132 = 311

Passo 5

Vamos encontrar y agora. Substituímos a coluna de y na matriz A pelos termos constantes. A matriz Ay fica:
Ay = 4 & 2 & 0 11 & 3 & 2 1 & 1 & 2
Calculando o determinante de Ay :
Det(Ay) = 4(3 cdot 2 - 2 cdot 1) - 2(11 cdot 2 - 2 cdot 1) + 0(11 cdot 1 - 3 cdot 1) = 4(6 - 2) - 2(22 - 2) + 0 = 4(4) - 2(20) + 0 = 16 - 40 + 0 = -24
Então, y = Det(Ay)Det(A) = -24-132 = 211

Passo 6

Por último, vamos encontrar z . Substituímos a coluna de z na matriz A pelos termos constantes. A matriz Az fica:
Az = 4 & 5 & 2 11 & 1 & 3 1 & 5 & 1
Calculando o determinante de Az :
Det(Az) = 4(1 cdot 1 - 3 cdot 5) - 5(11 cdot 1 - 3 cdot 1) + 2(11 cdot 5 - 1 cdot 1) = 4(1 - 15) - 5(11 - 3) + 2(55 - 1) = 4(-14) - 5(8) + 2(54) = -56 - 40 + 108 = 12
Então, z = Det(Az)Det(A) = 12-132 = -111

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 311, y = 211, z = -111

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