Dada a matriz
A=(ccc 4 & 5 & -1 -3 & -4 & 1 -3 & -4 & 0 )
calcule A^2, A^3, ldots, A^128

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 4 & 5 & -1 -3 & -4 & 1 -3 & -4 & 0
e pede as potências A^2, A^3, dots, A^128. Vamos calcular A^2 e A^3 para identificar um padrão nas potências de A.

Passo 2

Calculando A^2 = Acdot A por multiplicação de linhas de A por colunas de A, obtemos
A^2 = 4 & 4 & 1 -3 & -3 & -1 0 & 1 & -1

Passo 3

Em seguida,
A^3 = A^2 cdot A = 4 & 4 & 1 -3 & -3 & -1 0 & 1 & -1 4 & 5 & -1 -3 & -4 & 1 -3 & -4 & 0 = I3,
onde
I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Como A^3 = I3, as potências de A repetem-se a cada 3 expoentes. Em geral, para todo kinZ:
A^3k = I3, A^3k+1 = A, A^3k+2 = A^2

Passo 5

Para n=128 temos 128 = 3cdot42 + 2. Logo
A^128 = A^3cdot42 + 2 = A^2

Resposta

A^2 = 4 & 4 & 1 -3 & -3 & -1 0 & 1 & -1, A^3 = I3,
as potências seguem
;A^3k=I3,;A^3k+1=A,;A^3k+2=A^2,
e em particular
A^128 = A^2

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